Question

Função fog . Gostaria de uma resolução detalhada para conferir meu resultado com possível erro . Obrigado ​

Answer 1

Perceba que os intervalos das funções f(x) e g(x), definidas por partes, não são coincidentes e, sendo assim, vamos precisar "organizar" melhor os intervalos, acompanhe:

$Para~~x<0:~~\left\{\begin{array}{ccc}f(x)&=&x^2-3x+2\\&&\\g(x)&=&1-x^2\end{array}\right\\\\\\\\Para~~0\le x\le2:~~\left\{\begin{array}{ccc}f(x)&=&4x-3\\&&\\g(x)&=&1-x^2\end{array}\right\\\\\\\\Para~~x>2:~~\left\{\begin{array}{ccc}f(x)&=&4x-3\\&&\\g(x)&=&x+1\end{array}\right$

Agora sim podemos determinar uma composta fog(x), também definida por partes, seguindo os intervalos mostrados acima.

Para a fog, vamos considerar a função g(x) como uma "variável" da função f(x) para cada período.

$\underline{Para~~x<0}:\\\\\\fog(x)~=~(\,g(x)\,)^2-3x+2\\\\\\fog(x)~=~(1-x^2)^2-3x+2\\\\\\fog(x)~=~(-x^2.-x^2~-~x^2\,.\,1~+~1\,.\,-x^2~+~1\,.\,1)-3x+2\\\\\\fog(x)~=~(x^4~-~x^2~-~x^2~+~1)-3x+2\\\\\\\boxed{fog(x)~=~x^4~-~2x^2~-~3x~+~3}$

$\underline{Para~~0\le x\le2}:\\\\\\fog(x)~=~4\,.\,(\,g(x)\,)-3\\\\\\fog(x)~=~4\,.\,(1-x^2)-3\\\\\\fog(x)~=~(4\,.\,1~-~4\,.\,x^2)-3\\\\\\fog(x)~=~-4x^2+4-3\\\\\\\boxed{fog(x)~=~-4x^2+1}$

$\underline{Para~~x>2}:\\\\\\fog(x)~=~4\,.\,(\,g(x)\,)-3\\\\\\fog(x)~=~4\,.\,(x+1)-3\\\\\\fog(x)~=~(4\,.\,x~+~4\,.\,1)-3\\\\\\fog(x)~=~4x+4-3\\\\\\\boxed{fog(x)~=~4x+1}$

Podemos então dizer que a composta fog é definida por:

$fog(x)~=~\left\{\begin{array}{cc}x^4~-~2x^2~-~3x~+~3&~~~~~(x<0)\\&\\-4x^2+1&~~~~~(0\le x\le2)\\&\\4x+1&~~~~~(x>2)\end{array}\right$