O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no ponto H. Determine a área da região sombreada na figura.
A) 26,88
B) 27,88
C) 28,88
D) 29,88
E) 30,88
Respostas
Primeiro, vamos calcular a área do triângulo retângulo (A’):
A’ = AB.AC/2
A’ = 12.16/2
A’ = 96 cm ²
Agora, vamos calcular a área do setor circular (A”):
A” = π.R ². 90/360
(90 graus é o angulo do setor circular). O Raio é a distância AH.
Descobrindo a distância AH (R):
BC ² = AB ² + AC ²
BC ² = 144 + 256
BC ² = 400
BC = 20
Aplicando uma semelhança do tipo A.A, tem-se que:
AB/BC = AH/AC
12/20 = AH/16
AH = 16. 0,6
AH = 9,6
Voltando à Área circular (A”):
(Adotando π = 3)
A” = π.R ². 90/360
A” = 3 .(9,6) ².1/4
A” = 276,48/4
A” = 69,12 cm ²
Determinando a Área Final: A = A’ - A”
A = 96 - 69,12
A = 26,88 cm ²
Alternativa A.
A área sombreada na figura é de 28,88cm², sendo a letra "C" a alternativa correta.
Nesta atividade é apresentado um triangulo ABC. Pede-se para calcular a área da região sombreada.
A área da região sombreada será igual a área do triangulo menos a área do quarto dessa circunferência.
Calculando a área do triangulo temos:
A = 12cm * 16cm/2
A = 96cm²
Calculando a hipotenusa desse triangulo ABC temos:
BC ² = 144cm² + 256cm²
BC ² = 400cm²
BC = 20cm
Nota-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo ABH. Fazendo uma semelhança de triângulos temos:
AB/BC = AH/AC
12cm/20cm = AH/16cm
AH = 16cm. 0,6
AH = 9,6cm
A distância AH será igual ao raio dessa área circular. Calculando temos:
A = 3*(9,6cm) ²*1/4
A = 276,48cm²/4
A = 69,12cm²
Calculando a área sombreada temos:
A = 96cm² - 69,12cm²
A = 26,88cm²
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