Question

$f(x) = x + \frac{1}{x}$

Calcule a derivada de f(x) usando a notação de limite.


Eu sei que a resposta é:

$1 - \frac{1}{x {}^{2} } \: \: ou \: de \: outra \: forma \: \frac{x {}^{2} - 1}{x {}^{2} }$

Mas quero pela definição.

Não responda qualquer coisa só para ganhar pontos, se fizer isso eu vou denunciar e sua conta do Brainly pode ser excluída.


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Answer 1

Pela definição de derivada, temos:

$f'(x) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Começamor por calcular o numerador da fração:

$f(x+h) - f(x) = (x+h) + \dfrac{1}{x+h} - \left(x + \dfrac{1}{x}\right) = x + h + \underset{(x)}{\dfrac{1}{x+h}} - x - \underset{(x+h)}{\dfrac{1}{x}} =\\\\= h + \dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)} = h + \dfrac{x-x-h}{x(x+h)} = h -\dfrac{h}{x(x+h)}.$

Portanto:

$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{1}{h}\left( h -\dfrac{h}{x(x+h)}\right) = 1 - \dfrac{1}{x(x+h)}.$

Tomando agora o limite quando $h \to 0$, vem:

$f'(x) = \lim\limits_{h\to 0}\left( 1 -\dfrac{1}{x(x+h)}\right) = 1 - \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{1}{x(x+h)} = 1-\dfrac{1}{x(x+0)} = 1-\dfrac{1}{x^2}.$