Question

Qual a distância focal da cônica x² - 2x - 2y² - 8y - 16 = 0?

A) √5
B) 4
C) √3
D) 1
E) 2√5

O gabarito consta letra E
A equação é de uma hipérbole

Answer 1

a distância focal tem medida $c=5\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Podemos usar o método de completar quadrados para simplificar a equação desta cônica.

$x^2-2x-2y^2-8y-16=0$

Vamos começar pela variável x:

$(x^2-2x)-2y^2-8y-16=0$

O que fizemos foi apenas colocar parênteses para dar destaque às próximas operações.

$(x^2-2x+1-1)-2y^2-8y-16=0$

Lembrando que o trinômio quadrado perfeito tem a forma $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$

e como temos o fator 2x, então somamos e subtraímos um um para poder obter a forma reduzida

$((x^2-2x+1)-1)-2y^2-8y-16=0\\((x-1)^2-1)-2y^2-8y-16=0$

Vamos agora trabalhar para obter a expressão reduzida da variável y:

$((x-1)^2-1)-2(y^2+4y)-16=0$

Aqui fatoramos o - 2 pra fora.

Notando que $(y+2)^2=y^2+4y+4$, somaremos e subtrairemos 4 dentro dos parênteses

$((x-1)^2-1)-2(y^2+4y+4-4)-16=0\\((x-1)^2-1)-2((y^2+4y+4)-4)-16=0\\((x-1)^2-1)-2((y+2)^2-4)-16=0$

Vamos agora juntar todas as constantes soltas

$(x-1)^2-2(y+2)^2-16-1-8=0\\(x-1)^2-2(y+2)^2-25=0\\(x-1)^2-2(y+2)^2=25$

Está é a equação de uma hipérbole.

Podemos encontrar o valor de a e de b dessa hipérbole ao dividir por 25:

$\dfrac{(x-1)^2}{25}-\dfrac{2(y+2)^2}{25}=1$

Temos assim que $a^2=25$ e $b^2=\dfrac{25}{2}$

A distância focal tem medida igual a 2c onde $c^2=a^2+b^2$

Logo $c=\sqrt{25+\dfrac{25}{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}25}=5\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Então a distância focal tem medida $c=5\sqrt{\dfrac{3}{2}}$