Question

me ajudem a resolver essa. A resposta é a D.​

Answer 1

Resposta: O valor numérico da expressão $E$, quando $a=2^{5}$, é igual a $2^{11}$. Sendo assim, o item (D) está correto.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, antes de calcular o valor numérico pedido, vamos reescrever a expressão $E$, com o intuito de simplificá-la. Reescrevendo, ficaremos com:

$E=\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}}{\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}}+\frac{\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}}{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}}$  ⇒

$E=\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}}{\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}}.\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}}{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}}+\frac{\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}}{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}}.\frac{\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}}{\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}}$  ⇒

$E=\frac{(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1})^{2}}{a^{2}+1-(a^{2}-1)}+\frac{(\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1})^{2}}{a^{2}+1-(a^{2}-1)}$  ⇒

$E=\frac{(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1})^{2} + (\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1})^{2}}{2}\ \ (i)$  ⇒

$E=\frac{(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}+\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1})^{2}-2(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1})(\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1})}{2}$  ⇒

$E=\frac{(2\sqrt{a^{2}+1})^{2}-2[(a^{2}+1)-(a^{2}-1)]}{2}$  ⇒

$E=\frac{4(a^{2}+1)-4}{2}$  ⇒

$E=\frac{2[2(a^{2}+1)-2]}{2}$  ⇒

$E=2(a^{2}+1)-2$  ⇒

$E=2[(a^{2}+1)-1]$  ⇒

$E=2a^{2}\ \ (ii)$

Que incrível! Perceba que a expressão $E$ reduziu-se a $(ii)$, ou seja, $E=2a^{2}$. A partir disto, ficou muito fácil calcular o valor numérico de $E$, quando $a=2^{5}$. Substituindo $a$ por $2^{5}$ em $(ii)$, temos que o valor numérico correspondente será:

$E=2(2^{5})^{2}$  ⇒

$E=2(2^{10})$  ⇒

$E=2^{11}$

Observação: Em $(i)$, eu fiz $a=\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}-1}$ e $b=\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}-1}$. Em seguida utilizei a seguinte identidade algébrica notável:

$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$

Abraços!