Question

Dada a equação do 2 grau 3x² - 4x + 2 =0, pode se calcular o delta, e então perceber q a equação n possui raízes reais.Entretanto ainda eh possível determinar a soma S= 1/x1 + 1/x2, em q x1 e x2 são raízes complexas da equação dada. O valor de S é:

Answer 1

Pelo teorema fundamental da Álgebra, um polinômio de coeficientes reais deve ter raízes, seja real ou complexa, e além disso se

$x_1 \in \mathbb{C}$

é raíz de p(x), então,

$\exists\: x_2\in \mathbb{C}, \:x_2\neq x_1$

Chamamos a segunda raíz de conjugado da primeira, isso quer dizer que se

$x_1=a+bi$

Então, x2 ser conjugado de x1 significa

$x_2=a-bi$

Com $i=\sqrt{-1}$

Ou seja, podemos reescrever S como:

$S=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}$

$S=\dfrac{a-bi+a+bi}{(a+bi)(a-bi)}$

$S=\dfrac{2a}{a^2+b^2}$

Agora para sabermos o valor de S basta descobrirmos os valores de a e b a partir de Bhaskara.

Enunciando a formula de resolução para equações de segundo grau obteremos:

$p(x)=mx^2+qx+t=0$

$x=\dfrac{-q\pm\sqrt{q^2-4mt}}{2m}$

Perceba que o único termo que pode assumir i é o valor que possui raiz, portanto podemos separar a fórmula de Bhaskara para raízes complexas:

$a\pm bi=\dfrac{-q}{2m}\pm\dfrac{\sqrt{q^2-4mt}}{2m}$

Como q² - 4mt < 0, então

$\sqrt{q^2-4mt}=\sqrt{4mt-q^2}i$

Assim,

$a\pm bi=\dfrac{-q}{2m}\pm\dfrac{\sqrt{4mt-q^2}}{2m}i$

$a=\dfrac{-q}{2m}$

$b=\dfrac{\sqrt{4mt-q^2}}{2m}$

Vamos obter isso para a equação:

$3x^2-4x+2=0$

$a=\dfrac{-(-4)}{2*3}$

$a=\dfrac{4}{6}$

$a=0.\overline{6}$

$b=\dfrac{\sqrt{4*3*2-(-4)^2}}{2*3}$

$b=\dfrac{\sqrt{24-16}}{6}$

$b=\dfrac{\sqrt{8}}{6}$

E obteremos S:

$S=\dfrac{2a}{a^2+b^2}$

$S=\dfrac{2*\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}+\frac{8}{36}}$

$S=\dfrac{4}{3(\frac{6*4}{36}+\frac{8}{36})}$

$S=\dfrac{4}{3(\frac{24+8}{36}}$

$S=\dfrac{4}{3(\frac{36}{36}}$

$S=\dfrac{4}{3}$

Alternativa d)