Question

Um veículo automotor possui um sistema de mola e amortecimento nas rodas dianteiras e traseiras. O movimento da mola é amortecido por uma força de atrito ou por uma força de amortecimento. O modelo matemático que descreve o movimento da mola amortecida pela força de amortecimento é dado pelo produto de uma função exponencial e uma função senoidal ou cossenoidal. Considere que a função de deslocamento em um ponto da mola é dada por s(t) = e^(-t)*sen(pi*t), sendo que s(t) é dado em centímetros (cm) e o tempo t, dado em segundos (s).
Identifique:
a)a velocidade em um instante t qualquer.
b)a aceleração em um instante t qualquer.

Answer 1

Utilizando derivadas temporais, temos que:

a)$V(t)=e^{-t}.[\pi.cos(\pi.t)-sen(\pi.t)]$.

b)$a(t)=e^{-t}.[-2\pi.cos(\pi.t)+(1-\pi^2).sen(\pi.t)]$.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função deslocamento:

$S(t)=e^{-t}.sen(\pi.t)$

Assim vamos as questões:

a)A velocidade em um instante t qualquer.

Sabemos que a velocidade de um corpo é a derivada do espaço em relação ao tempo, então:

$S(t)=e^{-t}.sen(\pi.t)$

$V(t)=\frac{dS(t)}{dt}=-e^{-t}.sen(\pi.t)+\pi.e^{-t}cos(\pi.t)$

$V(t)=-e^{-t}.sen(\pi.t)+\pi.e^{-t}cos(\pi.t)$

$V(t)=e^{-t}.[\pi.cos(\pi.t)-sen(\pi.t)]$

Assim temos a função velocidade:

$V(t)=e^{-t}.[\pi.cos(\pi.t)-sen(\pi.t)]$

b)A aceleração em um instante t qualquer.

A aceleração por sua vez é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então:

$V(t)=e^{-t}.[\pi.cos(\pi.t)-sen(\pi.t)]$

$a(t)=\frac{dV(t)}{dt}=-e^{-t}.[\pi.cos(\pi.t)-sen(\pi.t)]+e^{-t}.[-\pi^2.sen(\pi.t)-\pi.cos(\pi.t)]$

$a(t)=-e^{-t}.[\pi.cos(\pi.t)-sen(\pi.t)]+e^{-t}.[-\pi^2.sen(\pi.t)-\pi.cos(\pi.t)]$

$a(t)=e^{-t}.[-\pi.cos(\pi.t)+sen(\pi.t)-\pi^2.sen(\pi.t)-\pi.cos(\pi.t)]$

$a(t)=e^{-t}.[-2\pi.cos(\pi.t)+(1-\pi^2).sen(\pi.t)]$

Assim temos a função aceleração:

$a(t)=e^{-t}.[-2\pi.cos(\pi.t)+(1-\pi^2).sen(\pi.t)]$