Question

As equações abaixo correspondem a três planos:


Sobre estas chapas afirma-se:

I) O plano 1 é perpendicular ao plano 2.
II) O plano 2 é perpendicular ao plano 3.
III) O plano 2 é paralelo ao plano 3.
IV) O plano 3 é paralelo ao plano 1.

Texto elaborado pelo Professor, 2019.

Assinale a alternativa correta:

Answer 1

Somente a afirmativa III é verdadeira.

O plano 1: x + y + z = 0 possui o vetor normal u = (1,1,1).

O plano 2: 2x + 2y - 2z = -3 possui o vetor normal v = (2,2,-2).

O plano 3: x + y - z = -9 possui o vetor normal w = (1,1,-1).

Vamos analisar cada afirmativa.

I) Se o plano 1 for perpendicular ao plano 2, então o produto interno entre os vetores u e v é igual a 0.

Calculando o produto interno entre u e v:

<u,v> = 1.2 + 1.2 + 1.(-2) = 2 + 2 - 2 = 2.

Portanto, a afirmativa é falsa.

II) Calculando o produto interno entre os vetor v e w:

<v,w> = 2.1 + 2.1 + (-2).(-1) = 2 + 2 + 2 = 6.

A afirmativa é falsa.

III) Se o plano 2 for paralelo ao plano 3, então os vetores v e w são múltiplos.

De fato, temos que v = 2.w.

A afirmativa é verdadeira.

IV) Se o plano 3 for paralelo ao plano 1, então os vetores u e w são múltiplos.

Porém, u e w são linearmente independentes.

A afirmativa é falsa.