Question

Seja F: A→R^n derivável em A⊂R e tal que ‖f(t)‖=k,∀ t∈A,k constante. Mostre que:
F(t)∙dF/dt (t)=0.
Para todo t∈A.

Answer 1

Seja a função $\vec{F}: A \to \mathbb{R}^n$, derivável em $A \subset \mathbb{R}$, que verifica:

$\left\|\vec{F}(t)\right\| = k = \textrm{constante}, \; \forall t \in A$

Pretendemos mostrar que:

$\vec{F}(t) \cdot \dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}t}(t) = 0, \; \forall t \in A.$

Começamos por recordar a regra da derivada do produto:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right) = \dfrac{\textrm{d}\vec{u}}{\textrm{d}t}\cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot\dfrac{\textrm{d}\vec{v}}{\textrm{d}t}.$

Tomamos agora $\vec{u} = \vec{v} = \vec{F}$ para obter:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(\vec{F} \cdot \vec{F}\right) = \dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}t}\cdot \vec{F} + \vec{F} \cdot\dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}t} \iff \dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(\left\|\vec{F}\right\|^2\right) = 2\vec{F} \cdot\dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}t},$

onde se utilizou o facto de que $\vec{u} \cdot \vec{u} = \left\|\vec{u}\right\|^2$ e a comutatividade do produto interno.

Uma vez que $\left\|\vec{F}(t)\right\| = k$, temos $\left\|\vec{F}(t)\right\|^2 = k^2, \; \forall t \in A$, pelo que:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(\left\|\vec{F}\right\|^2\right) = \dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(k^2\right) = 0, \; \forall t \in A,$

uma vez que $k$ é constante.

Vem então:

$2\vec{F} \cdot\dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}t} = 0 \iff \vec{F}(t) \cdot\dfrac{\textrm{d}\vec{F}}{\textrm{d}t}(t) = 0, \; \forall t \in A,$

como queríamos demonstrar.