Question

Dados os vetores u→ = →OA, v→ = →CA, w→= →CB e z→= →OB onde O é a origem.
Sabendo que u→ − z→ = (1, 3) e u→ + w→ = (2, 8).
Determine u→ + v→ + w→ + z→, e encontre um ponto D tal que ABDC seja um paralelogramo.

Answer 1

O valor de u + v + w + z é (4,18); O ponto D é (4,-6).

Do plano cartesiano, temos que:

O = (0,0)

A = (b,n)

B = (a,m)

C = (2b - a, m - n).

Os vetores OA, CA, CB e OB serão:

OA = (b,n) = u

CA = (b - 2b + a, n - m + n) = (-b + a, 2n - m) = v

CB = (a - 2b + a, m - m + n) = (2a - 2b, n) = w

Ob = (a, m) = z.

Como u - z = (1,3), então:

(b,n) - (a,m) = (1,3)

(b - a, n - m) = (1,3).

Assim:

{b - a = 1

{n - m = 3

Como u + w = (2,8), então:

(b,n) + (2a - 2b,n) = (2,8)

(2a - b, 2n) = (2,8)

Assim:

{2a - b = 2

{2n = 8.

Logo, o valor de n é 4. Substituindo o valor de n em n - m = 3, concluímos que m é 1.

Os valores de a e b são 3 e 4, respectivamente.

Com isso temos que os vetores u, v, w e z são:

u = (4,4)

v = (-1,9)

w = (-2,4)

z = (3,1).

Somando os quatro vetores, obtemos:

u + v + w + z = (4,18).

Vamos considerar que o ponto D é D = (x,y).

As diagonais do paralelogramo se cruzam no ponto médio.

Calculando o ponto médio da diagonal AD, obtemos:

M = ((3+5)/2, (1-3)/2)

M = (8/2,-2/2)

M = (4, -1).

Assim, temos que:

(4,-1) = ((4 + x)/2, (4 + y)/2)

x = 4 e y = -6.

O ponto D é (4,-6).