Question

Existem dois teoremas que podem ser utilizados para facilitar o cálculo do momento de inercia de
corpos rígidos. Assinale a alternativa que apresenta quais são esses teoremas.
a) Teorema de Pitágoras e Teorema de Pascal.
b) Teorema dos Eixos Paralelos e Teorema dos Eixos Perpendiculares.
c) Teorema de Laplace e Teorema de Stevin.
d) Teorema dos Eixos Simétricos e Teorema da Relatividade.
e) Teorema do Limite Central e Teorema de Tales.
Questão

Answer 1

Os teoremas em causa são os teoremas dos eixos paralelos e dos eixos perpendiculares. Estes permitem calcular momentos de inércia em torno de outros eixos conhecendo o valor do momento de inércia em torno de outro eixo.

Teorema dos eixos paralelos (de Steiner)

Seja $M$ a massa de um corpo, $I_\textrm{CM}$ o momento de inércia em torno de um eixo $a$ que passa no centro de massa e $I$ o momento de inércia em torno de um eixo $b$ paralelo a $a$, a uma distância perpendicular $d$. Tem-se então:

$\boxed{I = I_\textrm{CM} + Md^2}.$

Prova:

Consideramos um referencial tal que a origem coincida com o centro de massa do corpo, o eixo $a$ coincida com o eixo dos $zz$ e o eixo $b$ intersete o eixo dos $xx$ em $x=d$. Por definição, tem-se:

$\displaystyle I_\textrm{CM} = \int \rho^2 \textrm{ d}m.$

Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se ainda:

$\displaystyle I_\textrm{CM} = \int (x^2+y^2) \textrm{ d}m.$

Para o eixo $b$, basta fazer $x \to x - d$:

$\displaystyle I = \int ((x-d)^2+y^2) \textrm{ d}m.$

Expandimos agora utilizando o quadrado do binómio:

$\displaystyle I = \int (x^2-2xd + d^2+y^2) \textrm{ d}m .$

Aplicando a linearidade e homogeneidade do integral, vem:

$\displaystyle I = \underbrace{\int (x^2+y^2) \textrm{ d}m}_{=I_\textrm{CM}} - 2d\underbrace{\int x \textrm{ d}m}_{=0} + d^2 \underbrace{\int \textrm{d}m}_{=M} = I_\textrm{CM} + Md^2.$

Note que

$\displaystyle\int x \textrm{ d}m = 0$

uma vez que o centro de massa tem coordenadas:

$\left(\displaystyle\int x \textrm{ d}m, \displaystyle\int y \textrm{ d}m, \displaystyle\int z \textrm{ d}m\right),$

e coincide com a origem.

Teorema dos eixos perpendiculares (de Steiner)

Considere-se um corpo bidimensional contido no plano $xOy$. Seja $I_x$ o seu momento de inércia em torno do eixo dos $xx$ e $I_y$ o seu momento de inércia em torno do eixo dos $yy$. Então o seu momento de inércia em torno do eixo dos $zz$ é:

$\boxed{I_z = I_x + I_y}.$

Prova:

Por definição, tem-se:

$\displaystyle I_z = \int \rho^2 \textrm{ d}m.$

Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se ainda:

$\displaystyle I_z= \int (x^2+y^2) \textrm{ d}m.$

Uma vez que a figura está contida no plano $xOy$, temos $z=0$, pelo que podemos somar $z^2$ sem alterar o valor do momento de inércia:

$\displaystyle I_z= \int (x^2+z^2+y^2+z^2) \textrm{ d}m.$

Aplicando a linearidade do integral, vem:

$\displaystyle I_z= \underbrace{\int (x^2+z^2)\textrm{ d}m}_{=I_y}+\underbrace{\int(y^2+z^2) \textrm{ d}m}_{=I_x} = I_x + I_y.$

Resposta: $\textrm{b) \qquad Teorema dos Eixos Paralelos e Teorema dos Eixos Perpendiculares}.$

Answer 2

Resposta:

Explicação:

Consideramos um referencial tal que a origem coincida com o centro de massa do corpo, o eixo  coincida com o eixo dos  e o eixo  intersete o eixo dos  em . Por definição, tem-se:

Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se ainda:

Para o eixo , basta fazer :

Expandimos agora utilizando o quadrado do binómio:

Aplicando a linearidade e homogeneidade do integral, vem:

Note que

uma vez que o centro de massa tem coordenadas:

e coincide com a origem.

Teorema dos eixos perpendiculares (de Steiner)

Considere-se um corpo bidimensional contido no plano . Seja  o seu momento de inércia em torno do eixo dos  e  o seu momento de inércia em torno do eixo dos . Então o seu momento de inércia em torno do eixo dos  é:

Prova:

Por definição, tem-se:

Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se ainda:

Uma vez que a figura está contida no plano , temos , pelo que podemos somar  sem alterar o valor do momento de inércia:

Aplicando a linearidade do integral, vem: