1) Qual a condição para que um grupo seja Abeliano? Considerando o conjunto dos números Reais com a operação x ⊕ y = x + y − 5 para quaisquer que sejam x,y pertencentes aos Reais, mostre que G (R , ⊕ ) é um grupo Abeliano.
urgente !!!!!
não sei como resolver !
deixei o anexo.
Respostas
Dados um conjunto G não-vazio e uma operação * em G, dizemos que (G, *) é um grupo se satisfaz as três condições abaixo:
• A operação * é associativa em G, isto é, dados x, y, z elementos quaisquer de G, devemos ter (x * y) * z = x * (y * z);
• G tem elemento neutro para a operação *, isto é, existe um elemento e ∈ G, tal que, qualquer que seja x ∈ G,
e * x = x * e = x
• Todo elemento de G tem simétrico para a operação *, isto é, para qualquer que seja x ∈ G, existe um y ∈ G tal que
x * y = y * x = e
Além disso, dizemos que um grupo é abeliano (ou comutativo) se para todos x, y elementos de G, a operação * for comutativa, ou seja
x * y = y * x
_____
Exercício:
Dada a operação ⊕ em ℝ, definida por
x ⊕ y = x + y − 5, para quaisquer x, y ∈ ℝ
verificar que (ℝ, ⊕) é um grupo abeliano.
De fato, ⊕ é operação em ℝ pois dados quaisquer x, y elementos de ℝ,
x ⊕ y = x + y − 5 ∈ ℝ
• A operação ⊕ é associativa em ℝ, pois, dados x, y, z elementos quaisquer de ℝ, temos que
(x ⊕ y) ⊕ z
= (x ⊕ y) + z − 5
= (x + y − 5) + z − 5
= x + y − 5 + z − 5
= x + y + z − 5 − 5
= x + (y + z − 5) − 5
= x + (y ⊕ z) − 5
= x ⊕ (y ⊕ z)
• A operação ⊕ é tem elemento neutro em ℝ, pois, para todo x ∈ ℝ,
x ⊕ 5
= x + 5 − 5
= x
e de modo semelhante,
5 ⊕ x
= 5 + x − 5
= 5 − 5 + x
= x
isto é, 5 é o elemento neutro.
• Para qualquer elemento x ∈ ℝ, o elemento y = 10 − x é o simétrico de x para a operação ⊕, pois
x ⊕ y
= x ⊕ (10 − x)
= x + (10 − x) − 5
= 5
que é o elemento neutro.
Logo, (ℝ, ⊕) é um grupo.
Mostremos que (ℝ, ⊕) é abeliano.
Dados x, y elementos quaisquer de ℝ, temos que
x ⊕ y
= x + y − 5
= y + x − 5
= y ⊕ x
pois a soma em si é comutativa em ℝ. Logo, (ℝ, ⊕) é um grupo abeliano.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)