Question

Boa Noite ! Como saber se uma função é sobrejetora pela definição ? $\frac{x-1}{3-x}$

Answer 1

Boa noite!

Uma função f definida

$f:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{CD}$

Onde D e CD são o domínio e o contra-domínio de f, respectivamente.

Dizemos que f é sobrejetora, se e somente se,

$Im(f)=CD$

Onde Im(f) é o conjunto que retorna a imagem de f, que pode ser definida como:

$Im(f):=\{y:y=f(x), x\in\mathbb{D}\}$

Ou seja, uma função é sobrejetora se e somente se para cada elemento do contra-domínio da função, existe x que o obtém por f(x).

Perceba que, como o contra-domínio pode ser controlado, então na realidade, toda função pode ser sobrejetora e isso vai depender do contra-domínio dado.

Supondo que a função dada está definida de tal modo:

$f:\mathbb{R}-\{3\}\rightarrow\mathbb{R}$

Suponhamos que existe um valor de x que dê qualquer y dado tal que:

$\dfrac{x-1}{3-x}=y$

Vamos isolar x,

$x-1=y(3-x)$

$x-1=3y-xy$

$x+xy=3y+1$

$x(1+y)=3y+1$

$x=\dfrac{3y+1}{1+y}$

Perceba que x não está bem definido quando y = -1, portanto não existe x tal que f(x)=-1, e como $-1\in\mathbb{R}$,

$Im(f)\neq \mathbb{R}$

E portanto, f não é sobrejetora.

Perceba que se nós definirmos f em

$f:\mathbb{R}-\{3\}\rightarrow\mathbb{R}-\{-1\}$

f seria sobrejetora.

Mas a forma mais fácil de saber se uma função é sobrejetora ou não é, admitindo que f assume inversa e encontre o domínio dela, já que o domínio da função inversa é justamente a imagem da original.