Question

Responda justificando todas as questões (a) Se a e b são números reais tais que \frac{a^2}{b^2}=1, podemos dizer que, necessariamente, a=b ? Em caso negativo, o que pode ser dito, isto é, qual a relação que é necessariamente satisfeita por estes dois números?
(b) O número x=\frac{\sqrt{11-6\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-3} é um número inteiro? Em caso afirmativo, x é igual a qual número inteiro?

Answer 1

a) Os dois números não precisam ser iguais; eles podem ser opostos.

b) O número não é inteiro, pois é irracional.

Na primeira expressão, temos que a razão entre o quadrado de dois números é igual a 1. Para que uma divisão tenha esse resultado, o numerador e denominador devem ser iguais. Contudo, veja que os números reais estão elevados ao quadrado, então podemos valores de mesmo módulo e sinais distintos, tais como:

$\frac{a^2}{b^2}=1 \\ \\ a=2, \ b=-2 \\ \\ \frac{2^2}{(-2)^2}=\frac{4}{4}=1$

No segundo caso, veja que temos uma fração envolvendo radicais no denominador. Desse modo, vamos multiplicar ambas as partes pelo valor desse radical mais o sinal oposto do número inteiro, de formar a eliminar esse valor.

$\frac{11-6\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}\times (\frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+3})=\frac{11\sqrt{2}+33-6\times 2-18\sqrt{2}}{2-9}=\frac{-7\sqrt{2}+21}{-7}=\sqrt{2}-3$

Veja que o resultado ainda é um número irracional, devido a √2.