o proprietário de um sítio vai ampliar o galinheiro, cercando un terreno de forma retangular ao lado da casinha ja existente, conforme mostra a imagem
Quantos metros de cerca irá utilizar, se ele der duas voltas para cercar esse terreno, sabendo que ele obteve a maior área possível?
a)4m
b)8m
c)16m
d)24m
Respostas
Resposta: Irá utilizar 16 m (dezesseis metros) de cerca. Assim sendo, a alternativa c) está correta.
Explicação passo-a-passo:
A área S de um retângulo é dada através do produto do comprimento b (ou base) de sua base pela medida de sua largura c (ou altura), ou seja, S = bc. Com isso, a expressão matemática que fornece a área do terreno retangular da figura é dada por:
S = 2x(8 - 4x) *
Também é sabido que a área S é máxima, então a expressão * deve assumir o maior valor possível. Assim sendo, o maior valor possível S(máx) que * pode assumir é obtido da seguinte maneira:
S(x) = 16x - 8x² =>
S(x) = - 8(x² - 2x) =>
S(x)/(- 8) = x² - 2x =>
S(x)/(- 8) + 1 = x² - 2x + 1 =>
S(x)/(- 8) + 1 = (x - 1)² =>
S(x)/(- 8) = (x - 1)² - 1 =>
S(x) = 8 - 8(x - 1)² =>
S(máx) = 8 **
Em **, perceba que (x - 1)² é sempre maior ou igual a 0 (zero), com isso o máximo S(máx) de S é obtido quando (x - 1)² = 0, ou seja, quando x = 1. Note que x = 1 é a abscissa do ponto-vértice da parábola correspondente e S(1) = S(máx) = 8 é a ordenada do mesmo ponto. Sabemos que a área do terreno retangular é máxima para x = 1, logo, as dimensões do terreno são (8 4x) m = (8 - 4) m = 4 m e 2x m = 2(1) m = 2 m (dois metros). É notório que as dimensões são 4 m e 2 m, portanto, para dar uma volta no terreno, gasta-se 4 m + 2 m + 2 m = 8 m (oito metros). Logo, para dar-se duas voltas completas em torno do terreno retangular é necessário 2(8 m) = 16 m (dezesseis metros).
Abraços!
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