Question

Sabendo que tg x = 2 e sen x < 0, calculando o valor de cos x - sen x obtem-se:

a) 3/√5/5
b) 2√5 /5
c) -√5 /5
d) -2√5 /5
e) √5 /5

Answer 1

Começamos por notar que se $\tan x = 2 > 0$ e $\sin x < 0$, então temos $\cos x < 0$, o que corresponde ao 3.º quadrante do círculo trigonométrico.

Como $\sin x \neq 0$, podemos dividir a fórmula fundamental da trigonometria por $\sin^2 x$:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \iff \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = \dfrac{1}{\sin^2 x} \iff \dfrac{1}{\tan^2 x} + 1 = \dfrac{1}{\sin^2 x}.$

Substituindo $\tan x = 2$, podemos resolver para o seno, tendo em conta que este é negativo:

$\dfrac{1}{2^2} + 1 = \dfrac{1}{\sin^2 x} \iff \dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{\sin^2 x} \iff \sin^2 x = \dfrac{4}{5} \implies \sin x = -\dfrac{2}{\sqrt{5}}.$

Voltando à fórmula fundamental da trigonometria, temos:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \iff \cos^2 x = 1-\sin^2 x.$

Podemos agora substituir $\sin^2 x = \dfrac{4}{5}$ e resolver para o cosseno, tendo em conta que este é negativo:

$\cos^2 x = 1-\dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5} \implies \cos x = - \dfrac{1}{\sqrt{5}}.$

O valor pretendido é então:

$\cos x - \sin x = - \dfrac{1}{\sqrt{5}} - \left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) =  -\dfrac{1}{\sqrt{5}} + \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Resposta: $\textrm{e)} \qquad \dfrac{\sqrt{5}}{5}.$