Em certa cidade, localizada em um terreno plano, está sendo planejada a construção de uma nova linha de metrô, paralela à linha de trem e integrada à antiga linha de metrô. Em um mapa da cidade desenhado sobre um plano cartesiano, a linha de trem é representada pela reta de equação x + 2y – 10 = 0, enquanto a antiga linha de metrô é representada pela reta de equação y = 0. O projeto prevê a construção de uma estação para baldeação de passageiros no cruzamento das duas linhas de metrô.
Foram propostos cinco projetos, representados no mapa pelas equações de reta a seguir:
projeto 1: x + 2y – 1 = 0;
projeto 2: 2x – y – 2 = 0;
projeto 3: 2x + y + 1 = 0;
projeto 4: 4x + 8y + 3 = 0;
projeto 5: 10x + 2y – 1 = 0.
Ao analisar os projetos, o prefeito optou por aquele em que a estação de baldeação estivesse mais próxima da arena esportiva localizada no ponto O (0; 0) do mapa.
Com essa opção, deve ser implementado para a nova linha de metrô o projeto
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Respostas
Com essa opção, deve ser implementado para a nova linha de metrô o projeto 4.
Segundo o enunciado, a nova linha de metrô será paralela à linha de trem, ou seja, a equação da reta que representa a nova linha de metrô deverá ser paralela à reta x + 2y - 10 = 0.
Com essa informação, podemos eliminar os projetos 2, 3 e 5, porque essas retas não são paralelas à x + 2y - 10 = 0.
Agora, devemos calcular o ponto de interseção entre as retas dos projetos 1 e 4 com a reta y = 0.
Sendo x + 2y - 1 = 0, temos que:
x + 2.0 - 1 = 0
x = 1.
O ponto de interseção é (1,0).
Sendo 4x + 8y + 3 = 0, temos que:
4x + 8.0 + 3 = 0
4x = -3
x = -3/4.
O ponto de interseção é (-3/4,0).
Agora, devemos analisar qual desses dois pontos é o mais próximo de (0,0).
Observe que a distância de (1,0) a (0,0) é 1 e a distância de (-3/4,0) a (0,0) é 0,75.
Portanto, a opção a ser escolhida é a do projeto 4.
