Question

Um anel carregado de raio A com carga total Q de acordo com a figura abaixo, prove matematicamente que o campo elétrico em um ponto fora do anel e dado pela seguinte expressão:

Answer 1

Um elemento de carga $\textrm{d}q$ origina um campo elétrico $\textrm{d}\vec{E}$ no ponto $P$ dado por:

$\textrm{d}\vec{E} = \dfrac{\textrm{dq}}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\vec{r}}{r^3},$

sendo $\vec{r}$ o vetor que liga o elemento $\textrm{d}q$ ao ponto $P$.

Se o anel, de raio $R$, for carregado uniformemente, a sua densidade linear de carga é dada pelo quociente entre a carga total $Q$ e o seu perímetro $2\pi R$:

$\lambda = \dfrac{Q}{2\pi R}.$

Por definição, temos também:

$\lambda = \dfrac{\textrm{d}q}{\textrm{d}s},$

sendo $\textrm{d}s = R\textrm{ d}\varphi$ o elemento do anel correspondente à carga $\textrm{d}q$, sendo $\varphi$ o ângulo azimutal das coordenadas cilíndricas. Temos então:

$\textrm{d}q = \lambda\textrm{ d}s = \dfrac{Q}{2\pi R}\textrm{ d}s.$

Seja agora $\vec{P} = z\hat{z}$ o vetor-posição do ponto $P$ e $\vec{r'} = R\hat{\rho}$ o vetor-posição do elemento de carga $\textrm{d}q$, dados em coordenadas cilíndricas. Tem-se então:

$\vec{r'} + \vec{r} = \vec{P} \iff \vec{r} = \vec{P} - \vec{r'} = z\hat{z} - R\hat{\rho}.$

Assim:

$r = |\vec{r}| = \sqrt{z^2 + R^2}.$

Podemos agora escrever:

$\textrm{d}\vec{E} = \dfrac{\textrm{dq}}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\vec{r}}{r^3} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q}{2\pi R} R\textrm{ d}\varphi \dfrac{1}{\left(\sqrt{z^2 + R^2}\right)^3}\left(z\hat{z} - R\hat{\rho}\right) .$

Pela simetria cilíndrica do anel, a cada elemento $\textrm{ d}s$ corresponde um elemento $\textrm{d}s'$ diametralmente oposto que cancela a componente em $\hat{\rho}$, pelo que o campo só terá componente em $\hat{z}$:

$\textrm{d}\vec{E}_z = \dfrac{Q}{8\pi^2 \varepsilon_0}\dfrac{z}{\left(z^2 + R^2\right)^{3/2}} \hat{z} \textrm{ d}\varphi.$

Integrando agora sobre $\varphi \in [0, 2\pi[$, obtemos:

$\vec{E}_z = \dfrac{Q}{8\pi^2 \varepsilon_0}\dfrac{z}{\left(z^2 + R^2\right)^{3/2}} \hat{z} \displaystyle\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}\textrm{ d}\varphi}_{=2\pi} = \dfrac{Qz}{4\pi\varepsilon_0\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\hat{z}.$