Question

De exemplo de uma função f: R em R tal que lim x tendendo a 0 de f(x) exista e f não seja contínuo em x=0
Ou seja, lim x tendendo a 0 de f(x) ≠ f(0)

Answer 1

Um modo simples de produzir uma função desse género é pegar numa função contínua e redefinir o seu valor em $x = 0$. Por exemplo:

$f(x) = \begin{cases}\pi, \textrm{se } x = 0 \\ x, \textrm{se } x \neq 0\end{cases}.$

Fica então claro que o limite quando $x \to 0$ existe:

$\lim\limits_{x\to 0} f(x) = \lim\limits_{x\to 0} x = 0.$

Por outro lado, o valor da função em $x = 0$ é:

$f(0) = \pi.$

Assim, tem-se:

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0 \neq \pi = f(0),$

pelo que $f$ não é contínua em $x = 0$.