Question

Qual a condição para que um grupo seja Abeliano? Considerando o conjunto dos números Reais com a operação x ⊕ y = x + y − 5 para quaisquer que sejam , mostre que G (R , ⊕ ) é um grupo Abeliano.

Answer 1

Um Grupo abeliano é uma estrutura algébrica que satisfaz uma operação fechada e alguns axiomas:

• A operação deve ser fechada.

O que significa a operação ser fechada? Significa que operar entre dois elementos do grupo deve retornar para o mesmo grupo, numa notação com mais rigor definimos:

⊕ : G x G $\rightarrow$ G

A notação diz simplesmente que, caso operamos em ⊕ dois elementos

$a, b \in G$

a ⊕ b $\in G$ obrigatoriamente.

No exercício temos que G($\mathbb{R}$, ⊕ ) deve ser grupo abeliano, portanto, a operação deve ser fechada:

Tome $a,b \in \mathbb{R}$

a ⊕ b = a + b - 5

perceba que, se a e b pertencem aos reais, então $a+b-5\in \mathbb{R}$ também para qualquer a e b. Ou seja, a ⊕ b $\in \mathbb{R}$

pertencente ao grupo, o que implica uma operação fechada.

• Associatividade

Um grupo só é grupo se sua operação for associativa, ou seja,

(a ⊕ b) ⊕  c = a ⊕ (b ⊕ c)

Para o grupo do exercício:

(a ⊕ b) ⊕  c = (a+b-5) ⊕ c = a + b - 5 + c - 5 = a + b + c - 10

a ⊕ (b ⊕ c) = a ⊕ (b+c-5) = a + b + c - 5 - 5 = a + b + c - 10

Perceba que obtemos resultados iguais, portanto:

(a ⊕ b) ⊕  c = a ⊕ (b ⊕ c),  ⊕ é associativa.

• Elemento neutro

Além a operação fechada, para ser grupo, deve estar contido no conjunto um elemento neutro "e" tal que

a ⊕ e = a, para qualquer a no conjunto do grupo.

Vamos mostrar que em G existe e, e que ele é único:

a ⊕ e = a $\implies a+e-5=a\impliese=5$

No caso do suposto grupo G, o elemento neutro da operação ⊕ é 5, que pertence ao reais, portanto, ao grupo, e perceba, ele é único e só pode ser 5.

• Elemento Inverso

Um conjunto só é grupo se, para cada elemento a nele (exceto o elemento neutro) existir um elemento b tal que:

a ⊕ b = e = 5

é um elemento único para cada a (ou seja, cada a tem um b e só um b que o neutraliza). Vamos verificar para nosso G:

a ⊕ b = e $\implies a+b-5=5\implies a+b = 0 \implies a = -b$

Portanto, o elemento inverso de a deve ser -a, e como estamos nos reais, para cada $x\in\mathbb{R}$ existe $-x\in\mathbb{R}$, portanto, G tem elemento inverso único para cada elemento.

As características acima já caracterizam um Grupo, mas não um Grupo Abeliano, Grupos abelianos têm uma propriedade a mais, que é a comutatividade:

• Comutatividade

Dizer que uma operação é comutativa é dizer que não importa a ordem em que operamos, o resultado é o mesmo. Isso pode parecer trivial que a ordem não importa, mas existem estruturas algébricas que não comportam comutatividade, como a multiplicação de matrizes quadradas, em que a ordem importa. Mas voltando, uma operação é dita comutativa, se e somente se,

a ⊕ b = b ⊕ a

Vamos verificar:

a ⊕ b = a + b - 5

b ⊕ a = b + a - 5

Pelo fato de que a soma de números reais é comutativa, então a+b = b+a, o que implica que

b ⊕ a = b + a - 5 = a + b - 5 = a ⊕ b

a ⊕ b = b ⊕ a,  ⊕ é comutativa.

E com essas 5 propriedades mostramos que G([tex]\mathbb{R},  ⊕ ) é um grupo abeliano.