Question

Questão de Fisica 3 sobre Lei de Coulomb e princípio da superposição​

Answer 1

Seja $\textrm{d}q$ um elemento de carga associado ao elemento $\textrm{d}\ell$ do anel. A força produzida por este elemento na carga $q$ é:

$\textrm{d}\vec{F} = \dfrac{q\textrm{ d}q}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{\vec{r}}{r^3},$

sendo $\vec{r}$ o vetor que liga o elemento $\textrm{d}q$ à carga $q$.

Como o anel está carregado uniformemente, temos a densidade linear de carga:

$\lambda = \dfrac{Q}{2\pi\rho},$

sendo $Q$ a carga no anel e $\rho$ o seu raio, pelo que $2\pi\rho$ é o seu perímetro.

Atendendo agora à definição de densidade linear de carga, temos:

$\lambda = \dfrac{\textrm{d}q}{\textrm{d}\ell} \iff \textrm{d}q = \lambda\textrm{ d}\ell.$

Em coordenadas cilíndricas, o elemento $\textrm{d}\ell$ é dado por:

$\textrm{d}\ell = \rho \textrm{ d}\varphi,$

sendo $\varphi$ o ângulo azimutal. Juntando tudo, obtemos:

$\textrm{d}q = \dfrac{Q}{2\pi\rho} \rho\textrm{ d}\varphi = \dfrac{Q}{2\pi}\textrm{ d}\varphi.$

Determinamos agora $\vec{r}$. Seja o eixo onde se encontra $q$ o eixo dos $zz$. Então a posição da carga é dada por:

$\vec{R} = D\hat{z}.$

Por outro lado, em coordenadas cilíndricas, seja $\hat{\rho}$ o versor radial. A posição do elemento de carga $\textrm{d}q$ é dada por:

$\vec{r'} = \rho \hat{\rho}.$

Temos então:

$\vec{R} = \vec{r} + \vec{r'} \iff \vec{r} = \vec{R} - \vec{r'} = D\hat{z}- \rho\hat{\rho}.$

Podemos agora calcular a magnitude do vetor e o respetivo cubo:

$r = |\vec{r}| = \sqrt{\rho^2 + D^2} \implies r^3 = \left(\sqrt{\rho^2 + D^2}\right)^3 = \left(\rho^2 + D^2\right)^{3/2}$

Substituindo os resultados na expressão inicial, vem:

$\textrm{d}\vec{F} = \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{2\pi}\textrm{ d}\varphi \dfrac{D\hat{z}- \rho\hat{\rho}}{\left(\rho^2 + D^2\right)^{3/2}}.$

Integrando sobre $\varphi\in[0, 2\pi[$, temos então para a componente em $zz$:

$\vec{F}_z = \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{2\pi}\dfrac{D\hat{z}}{\left(\rho^2 + D^2\right)^{3/2}}\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}\textrm{d}\varphi}_{=2\pi} = \dfrac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{D}{\left(\rho^2 + D^2\right)^{3/2}}\hat{z}.$

Note-se que nem o versor $\hat{z}$ nem nenhuma das grandezas depende de $\varphi$, pelo que podem sair do integral.

Notamos agora que, para cada elemento $\textrm{d}q$ existe um elemento diametralmente oposto $\textrm{d}q'$ que permite anular a componente da força em $\hat{\rho}$, pelo que a força está toda sobre o eixo dos $zz$.

Alternativamente, poderíamos realizar a integração sobre $\varphi\in[0, 2\pi[$ e provar que a componente em $\hat{\rho}$ se anula:

$\vec{F}_\rho = \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{2\pi}\dfrac{-\rho}{\left(\rho^2 + D^2\right)^{3/2}}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\hat{\rho}\textrm{ d}\varphi.$

Note-se que o versor $\hat{\rho}$ não é constante, pois roda com $\varphi$. De facto, em coordenadas cartesianas, tem-se:

$\hat{\rho} = \cos\varphi\,\hat{x} + \sin \varphi\,\hat{y}.$

Como tal, vem:

$\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\hat{\rho}\textrm{ d}\varphi = \int\limits_0^{2\pi}\left(\cos\varphi\,\hat{x}+\sin\varphi\,\hat{y}\right)\textrm{d}\varphi = \int\limits_0^{2\pi}\cos\varphi\textrm{ d}\varphi \,\hat{x}+\int\limits_0^{2\pi}\sin\varphi}\textrm{ d}\varphi\,\hat{y},$

onde os versores $\hat{x}$ e $\hat{y}$ são constantes e podem sair do integral. Como o seno e o cosseno são funções $2\pi$-periódicas, tem-se:

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} \cos\varphi\textrm{ d}\varphi = \sin \varphi \Big\vert_0^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin 0 = 0 - 0 = 0$

e, do mesmo modo,:

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} \sin\varphi\textrm{ d}\varphi = -\cos \varphi \Big\vert_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos 0 = -1 +1 = 0,$

pelo que, tal como previsto pela simetria:

$\vec{F}_\rho = \vec{0}.$

Obtemos então a expressão final da força:

$\boxed{\vec{F} = \dfrac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{D}{\left(\rho^2 + D^2\right)^{3/2}}\hat{z}}.$