Question

O valor do limite é?


-2


-1


2


0


1

Answer 1

O exercício pede o cálculo de limites em funções com duas variáveis. Esse em específico utiliza de uma característica dentro das funções de duas variáveis: as superfícies de rotação, no caso, essa função é uma superfície no R¹, que rotaciona em torno de um eixo.

Superfícies de rotação são funções

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Funções de uma variável mas que são definidas como:

$g(x,y) = f(\sqrt{x^2+y^2})$

g, então, uma função de 2 variáveis e de revolução

Temos a função g:

$g(x,y) = \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}$

Teremos de obter f(t), pois limites em funções de 1 variável é bem mais fácil de avaliar que funções com 2 variáveis.

Agora temos de analisar bem a função, queremos que nenhum valor fique sobre a raiz, portanto, podemos muito bem definir t tal que:

$t: \sqrt{x^2+y^2+1}$

Pois assim substituiremos a raiz em g por um valor único t, e a parte com x²+y² desenvolveremos t:

$x^2+y^2 = t^2-1$

E portanto,

$g(x,y) = f(t) = \dfrac{t^2-1}{t-1}$

Para t definido acima.

Agora, ao calcular o limite de g, o limite se conserva:

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \sqrt{x^2+y^2+1} = 1$

$\lim_{t\rightarrow 1} t = 1$

$\therefore \lim</p><p></p><p>[tex]\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0) \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1} = \lim_{t\rightarrow 1} \dfrac{t^2-1}{t-1} = \lim_{t\rightarrow 1} \dfrac{(t+1)(t-1)}{t-1}$

$\therefore \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1} = \lim_{t\rightarrow 1} \dfrac{t^2-1}{t-1} = \lim_{t\rightarrow 1} \dfrac{(t+1)(t-1)}{t-1} = \lim_{t\rightarrow 1}t+1 = 2$

Alternativa C)