Question

Sabendo que a soma dos 5 primeiros termos de uma p.a é 45 e a soma dos 8 primeiros é 108, calcule o valor do décimo termo dessa progressão.

Answer 1

boa noite

Vamos a resolução:

sabemos que a fórmula da soma dos termos de um P.A é dada como:

$s ^{n} = \frac{( {a}^{1} + {a}^{n}).n }{2}$

Obs: esse elevado é o número de termo, não que o número esteja elevado a "n", ok?

sabemos que a soma dos 5 primeiros termos é igual a 45, jogue os dados na fórmula:

$45 = \frac{(a {}^{1} + {a}^{5} ).5}{2}$

$90 = ( {a}^{1} + {a}^{5} ).5$

$\frac{90}{5} = {a}^{1} + {a}^{5}$

${a}^{1} + {a}^{5} = 18$

agora vamos fazer a 2° etapa. Sabendo que a soma 8 termos é igual a 108, vamos a fórmula:

$108 = \frac{( {a}^{1} + {a}^{8}).8 }{2}$

$216 = ({a}^{1} + {a}^{8} ).8$

$\frac{216}{8} = {a}^{1} + {a}^{8}$

${a}^{1} + {a}^{8} = 27$

Agora vamos fazer um sistemas envolvendo as duas contas:

${a}^{1} + {a}^{5} = 18$

${a}^{1} + {a}^{8} = 27$

agora vamos lembrar da fórmula do termo geral, que é dado como:

${a}^{n} = {a}^{1} + (n - 1).r$

aplicaremos no a5:

${a}^{1} + {a}^{1} + (5 - 1).r = 18$

${2a}^{1} + 4.r = 18$

aplicaremos no a8:

${a}^{1} + {a}^{1} + (8 - 1).r$

${2a}^{1} + 7.r = 27$

agora aplicaremos o sistema, farei pelo método da adição;

${2a}^{1} + 4.r = 18$

${2a}^{1} + 7.r = 27$

---------------------------------------------------

${ - 2a}^{1} - 4.r = - 18$

${2a}^{1} + 7.r = 27$

---------------------------------------------------

$3.r = 9$

$r = 3$

agora vamos substituir em qualquer umas dos sistema o valor de "r" para acharmos o a1, sendo assim:

${2a}^{1} + 7.3 = 27$

${2a}^{1} + 21 = 27$

${2a}^{1} = 6$

${a}^{1} = 3$

Agora vamos achar o a13, já temos tudo, basta só aplicar:

${a}^{13} = {a}^{1} + (n - 1).r$

${a}^{13} = 3 + (13 - 1).3$

${a}^{13} = 3 + 12.3$

${a}^{13} = 39$

espero ter ajudado :)