Question

demonstrar que para a, b, c pertencentes a Z, a|b ^ a|c => a|b+c​

Answer 1

Tome $a,b,c\in\mathbb{Z}$

Teremos que

$a|b\: \: e \:\: a|c$

Lê-se "a divide b e a divide c.

Se e somente se, existir k1 e k2 nos inteiros tal que,

$\dfrac{b}{a}=k_1\in\mathbb{Z}$

$\dfrac{c}{a}=k_2\in\mathbb{Z}$

E essa é, na realidade, a definição da notação. Como estamos mexendo com frações agora podemos tomar, sem perda de igualdade, que

$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}=k_1+k_2\in\mathbb{Z}$

Já que a soma de dois números nos inteiros nos retorna nos inteiros, e portanto,

$\dfrac{b+c}{a}=k_3\in\mathbb{Z}$

Onde definimos:

$k_3:=k_1+k_2$

Voltando da forma fracionária para a notação temos que se e somente se,

$a|b+c$

Como queríamos demonstrar.

A notação x|y significa e é idêntico a dizer

$x|y \iff \exists\: k \in\mathbb{Z}, \dfrac{y}{x}=k$