Question

QUESTÃO 2: A soma dos termos de ordem ímpar de uma progressão geométrica com uma infinidade de termos é igual a 20 e a soma dos termos de ordem par é igual a 10. Calcule o primeiro termo da progressão.

Answer 1

Quando os termos são ímpares temos

$a1.q+a1.q^{3}+a1.q^{5}+...=20$

Colocando a1.q em evidência temos

$a1q(1+q^{2}+q^{4}+...) = 20$

Quando os termos são de ordem par temos

$a1.q^{2}+a1.q^{4}+... = 10$

Colocando a1.q² em evidência temos

$a1q^{2}(1+q^{2}+...) = 10$

Dividindo a soma dos termos ímpares pela soma dos termos pares temos:

$\frac{a1q(1+q^{2}+q^{4}+...)}{a1q^{2}(1+q^{2}+ {q}^{4} ...) } = \frac{20}{10}$

$\frac{1}{q} = 2 \\ q = \frac{1}{2}$

Aplicando na fórmula da soma dos termos de uma PG infinita, temos

$sn = \frac{a1}{1 - q} \\ 30 = \frac{a1}{1 - \frac{1}{2} } \\ 30 = \frac{a1}{ \frac{1}{2} }$

$a1 = 30 \times \frac{1}{2} = 15$

Nota: o 30 representa a soma dos pares com os ímpares.