Question

quatro times de futebol irão disputar um campeonato no qual cada time joga uma única vez com todos os demais times. Cada vitória vale 3 pontos e cada empate Vale 1 ponto e as derrotas não pontuam. Nesse campeonato,

a) Determine quantos jogos serão disputados ao todo.

b) Se o campeão conseguir 9 pontos, o vice 6 pontos e o terceiro 3 pontos, quantos pontos obterá o quarto colocado?

c) Se o campeão conseguir 5 pontos dois times acabarem na mesma posição com 3 pontos cada um e o último obtiver 2 pontos, quantos empates terão acontecido? ​

Answer 1

Resposta:

Vamos lá:

a) Vamos denotar os quatro times por A, B, C e D. Como cada time joga uma única vez com os  demais, segue que cada time joga ao todo 3 jogos. Teremos ao todo 12 jogos

b) Vamos supor que A tenha sido o campeão. Logo, obteve 9 pontos e isso só é possível se ele tiver 3 vitórias

(3 × 3 = 9), ganhando de B, C e D. Agora supomos que B foi o vice-campeão. Como ele somou 6 pontos,

concluímos que teve duas vitórias e uma derrota, ganhando de C e D e perdendo para A.

Finalmente, supomos que C foi o terceiro colocado. Como ele obteve 3 pontos, a única situação possível é que

C ganhou de D, pois já havia perdido para A e B. Segue assim que o time D, último colocado do campeonato,

perdeu todos os jogos, somando 0 pontos.

c) Vamos supor que A foi o campeão, B e C terminaram na mesma posição, e D em último lugar. Vamos

analisar quantas vitórias, empates e derrotas cada time obteve:

• Como A somou 5 pontos, concluímos que A obteve 1 vitória e 2 empates.

• Como D somou 2 pontos, concluímos que D obteve 2 empates e 1 derrota.

• Como B obteve 3 pontos, temos a princípio duas possibilidades: ou B ganhou um jogo e perdeu os demais,

ou empatou seus três jogos. Mas se ele tivesse ganho um jogo e perdido os demais, sua vitória teria que ser

contra D, pois caso contrário D somaria pelo menos 3 pontos. Mas nesse caso C ganhou de B e empatou

com D, somando mais de 3 pontos, o que não pode ocorrer. Assim, concluímos que B obteve 3 empates.

• Como C obteve 3 pontos, pelo mesmo raciocínio, concluímos que C obteve 3 empates.

Assim, só houve uma vitória no campeonato, que ocorreu no jogo A × D. Todos os demais jogos do

campeonato terminaram em empates

A × B, A × C, B × C, B × D, C × D

. Logo, houve 5 empates no total

Espero ter ajudado