Question

Atividade 5

''Determine dois números tais que, cada um somado com o quadrado do outro, forneça um quadrado perfeito.'' Como Diofanto tentava sempre escrever os problemas usando apenas uma incógnita, em vez de chamar os números de x e y, chamou-os de x e 2x + 1 e escolhe um quadrado perfeito particular (2x-2)².

A) Experimente resolver o problema seguindo a sugestão de Diofanto e descubra os números procurados.
B) Resolva, também, um desafio semelhante chamando os números de x e 2x+1,mas utilizando o quadrado perfeito particular (2x-3)².Que conclusão podemos tirar?

Answer 1

Resposta:

A)

$x = \frac{3}{13} \\ (2x - 2) ^{2} = \frac{19}{13}$

B)

$x = \frac{8}{17} \\ (2x - 3) ^{2} = \frac{33}{17}$

Explicação passo-a-passo:

A) Resolvemos desta forma:

${(2x - 2)}^{2} = {(2x + 1)}^{2} + x$

${4x}^{2} - 8x + 4 = {4x}^{2} + 4x + 1 + x \\ - 8x + 4 = 5x + 1 \\ - 8x - 5x = 1 - 4 \\ - x = \frac{ - 3}{13} \\ x = \frac{3}{13}$

Agora substituindo

$x$

em

$2x + 1$

:

$2x + 1 = 2. \frac{3}{13} + 1 = \frac{19}{13} .$

B) Da mesma forma resolvemos

${(2x - 3)}^{2} = (2x + 1) + x$

${4x}^{2} - 12x + 9 = {4x}^{2} + 4x + 1 + x \\ - 12x + 9 = 5x + 1 \\ - 12x - 5x = 1 - 9 \\ - 17x = - 8 \\ x = \frac{8}{17} .$

Agora substituímos x e encontramos o segundo número:

$2x + 1 = 2. \frac{8}{17} + 1 = \frac{33}{17} .$

Percebemos que qualquer que seja o número de x, a soma entre esses dois números será sempre um quadrado perfeito e o resultado será uma equação linear em x. Este método sucessivo consiste em trabalhar com uma incógnita em vez de duas, de modo que só haja um número desconhecido. (NETO, 2016)

Referência: NETO, Altino da Silva. História de Diofanto: Problemas diofantinos. In: NETO, Altino da Silva. Convite às equações diofantinas: Uma abordagem para a educação básica. Orientador: Prof. Dr. Alberto Martins Martinez Castaneda. 2016. Dissertação de Mestrado. (Mestre em Matemática) - UFRR, Boa Vista, 2016. p. 23. E-book.

Answer 2

Resposta:

41/17   a soma dos dois números gera quadrados perfeitos.

Explicação passo-a-passo:

Olá, tudo bem?

O exercício é sobre quadrados perfeitos.

A) Experimente resolver o problema seguindo a sugestão de Diofanto e descubra os números procurados.

(2x - 2)² = (2x + 1)² + x

4x² - 4x + 4 = 4x² +4x +1 + x

-9x = 1 - 4

-9x = -3

x = 1/3

Substituindo em( 2x +1)

2.1/3 + 1

2/3 + 1

mmc = 3

(2 + 3)/3

5/3

B) Resolva, também, um desafio semelhante chamando os números de x e 2x+1,mas utilizando o quadrado perfeito particular (2x-3)².Que conclusão podemos tirar?

(2x - 3)² = (2x+1)² + x

4x² - 12x + 9 = 4x² +4x + 1 + x

-12x - 5x = 1 - 9

-17x = - 8

x = 8/17

Substituindo em (2x + 1)

(2.8/17 + 1)

(16/17 + 1)

[(16 + 17)/17]

33/17

Somando-se os resultados: 8/17 + 33/17

41/17   a soma dos dois números gera quadrados perfeitos.

Saiba mais sobre quadrados perfeitos, acesse aqui:

https://brainly.com.br/tarefa/24757559

Sucesso nos estudos!!!