Question

Alguém sabe a resposta??
Encontre todas as soluções da equação diofantina: 8x + 7y = 9.

Answer 1

Olá

Temos a forma geral da equação Diofantina.
 Ax+By=C
Para ter uma  uma possível solução deve cumprir   o  m.c.d (a,b)=1
Temos a fórmula que.

x=x₀+An
                   Onde A,B,C e n deve ∈ /Z
y=y₀-Bn

Onde  --->n={.......-2,-1,0,1,2........} ∈ /Z
..........................................................................................
Com essas condições resolvemos.

8x+7y=9     ------->m.c.d( 8,7)= 1  tem solução 

Podemos resolver a expressão, buscando o múltiplo do menor valor da equação, neste casso o menor valor é (7), então vamos dividir os outros valores por (7) veja.
 
8 | 7 
7 1     =>(7°.1+1) --->7°-->significa múltiplo de 7
 1

9 | 7 
7  1    =>(7°.1+2)
2

..................................................................................
Agora vamos substituir  na expressão assím

   8x+7y=9
  (7°.1+1)x+7°y=(7°.1+2)
     (7°+1)x+7°y=7°+2
 
Sabe-se que todo numero multiplo de 7 (7°) sempre será o múltiplo de 7°
exemplo.
[ 7°y=7°  ,  8°m=8°, 10°.100=10°, (5°-5°+5°)=5° , assim por adiante]

Então com essa condição  fazemos.

(7°+1)x+7°y=7°+2 ---> multiplicamos por distributiva (x)
7°x+1.x+7°y=7°+2
  7°+x+7°=7°+2
       x=7°-7°-7°+2
       x= 7°+2 -----> x₀=2
x₀=2 -----> temos o valor de (x₀)

Agora vamos substituir o valor de (x₀) no valor de (x) pra obter o valor de (y₀)
assim.

8x+7y=9
8.2+7y=9
16+7y=9
     7y=9-16
     7y=-7
       y₀=-1------> temos o valor de (y₀)
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Agora vamos  substituir o valor de [ x₀ e y₀] na expressão,pra obter o valor de [x e y ] veja.

x=x₀+An  ---->sendo [ x₀=2 e  A=8 ] , substituindo temos.
x=2+8n

y=y₀-Bn----> sendo [  y₀=-1 e B =7 ], substituindo temos.
y=-1-7n

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Entao ja temos.

x=2+8n
              ===> sendo os valores aleatorios de n={..-2,-1,0,1,2...}
y=-1-7n

Vamos substituir os valores de (n) pra (x) e (y), assim.
quando ---->n=-1

x=2+8(-1)              y=-1-7(-1)
x=-6                       y=6
Sim substituirmos estos valores em 8x+7y=9, verificamos se satisfaz , vemos.
8(-6)+7(6)=9
-48+42 ≠ 9-----> nao safistaz  a equação descartamos  o valor para (n=-1)
........................................................................................
agora vamos provar.
quando ---->n=0

x=2+8(0)              y=-1-7(0)
x=2                      y=-1
Substituindo na equação. 8x+7y=9 ---> os valores de (x) e (y) temos.
8(2)+7(-1)=9
16-7=9
   9=9 -----> cumple, e satisfaz  a equação.
.................................................................................
Agora vamos provar.
quando ---->n=1
x=2+8(1)         y=-1-7(1)
x=10                y=-8
provando os vaores de (y) e (x) na equação temos.
8x+7y=9
8(10)+7(-8)=9
80-56≠9----> nao satisfaz  a equação.

E assim vc vai dando valores a (n) e substituindo mesmo procedimento e terá infinitas valores ,sempre que prove e satisfaz  a equação, Observação isso é só quando é uma equação diofantina  só a equação, pode ter valores positivos e negativos (x) e (y), mas se for um problema  o valor de (x) e (y) não podem ter o valor negativo

Então as soluções da equação diofantica  é.
x=2
y=-1
C.S{x=2  e y=-1 }

=======================================
                              Espero ter ajudado!!