Question

Este ano João vai economizar uma certa quantia de sua renda e gastar o restante.No próximo ano João não terá renda, mas para cada dólar que ele salva este ano ele terá 1+ r dólares disponíveis para gastar.em termos de r, que fração de sua renda João deve salvar este ano para que no próximo ano a quantia que ele tem disponível para gastar seja igual a metade do montante que ele gasta esse ano ?

Answer 1

João deve guardar a seguinte fração de sua renda:

$y=\frac{1}{3+2r}$

Inicialmente, vamos considerar que a renda de João é equivalente a X e ele deve guardar uma quantia Y desse montante. Desse modo, a diferença entre os dois é o valor gasto por ele no ano atual. Com isso, podemos montar a seguinte expressão:

$\frac{x-y}{2}=y(1+r)$

Onde um lado da igualdade indica o montante que ele pretende gastar no próximo ano e o outro é equivalente ao dinheiro que ele vai ter. Veja que o valor de X é equivalente a 100%, então podemos substituir essa parcela por 1. Por fim, podemos isolar Y e obter a seguinte razão:

$\frac{1-y}{2}=y(1+r) \\ \\ 1-y=2y(1+r) \\ \\ 1-y=2y+2yr \\ \\ 1=3y+2yr\\ \\ \boxed{y=\frac{1}{3+2r}}$