Question

Sendo x² + y²= 1 prove que 1+x+iy / 1+x-iy = x+iy.

Answer 1

Primeiramente multiplica numerador e denominador pelo conjugado complexo do denominador. Lembre que no conjugado complexo, a parte real é a mesma, mas a imaginária tem sinal invertido:

$\dfrac{(1 + x + i \cdot y)}{(1+x-i \cdot y)} \cdot \dfrac{(1 + x + i \cdot y)}{(1 + x + i \cdot y)} = \dfrac{1+x+i\cdot y+x+x^2+i\cdot x\cdot y+i\cdot y +i\cdot x\cdot y -y^2}{1+x+i\cdot y+x+x^2+i\cdot x \cdot y-i\cdot y-i\cdot x \cdot y+y^2}$

Os termos complexos no denominador irao se anular. Considerando que: $x^2 + y^2 = 1$, entao: $y^2 = 1-x^2$.

Faremos essa substituiçao no numerador e no denominador. Ficará assim:

$\dfrac{1+2\cdot x+x^2-1+x^2+2\cdot i\cdot y+2\cdot i\cdot x\cdot y}{2\cdot (x+1)}$

Agora, note que o +1 e o -1 vao se anular. Ficará assim:

$\dfrac{2\cdot x + 2\cdot x^2 + 2\cdot i\cdot y\cdot (x+1)}{2\cdot (x+1)}$

ou:

$\dfrac{2\cdot x \cdot (x+1) + 2\cdot i\cdot y\cdot (x+1)}{2\cdot (x+1)}$

Simplificando fica apenas:

$\boxed{x + i \cdot y}$