Question

6) Calcule o valor de cada uma destas
a) cos 72º.cos 27° + sen 72°. sen 27°
b) sen 65º.cos 20° – sen 20º.cos 65°
cos360.cos 9º – sen36º. sen 9°​

Answer 1

Resposta: Letra a): $E=\frac{\sqrt{2}}{2}$; Letra b): $E' =1$

Explicação passo-a-passo:

Letra a)

Para solucionarmos o exercício, deve-se ter em mente as identidades trigonométricas do arco complementar, que por sua vez são dadas por $sen(x)=cos(90\textdegree-x)$ e $cos(x)=sen(90\textdegree-x)$. Posto isto, a expressão trigonométrica $E$, explícita em a), reduz-se a:

$E=cos(72\textdegree)\cdot cos(27\textdegree)+sen(72\textdegree)\cdot sen(27\textdegree)$  ⇒

$E=sen(90\textdegree-72\textdegree)\cdot cos(27\textdegree)+cos(90\textdegree-72\textdegree)\cdot sen(27\textdegree)$  ⇒

$E=sen(18\textdegree)\cdot cos(27\textdegree)+sen(27\textdegree)\cdot cos(18\textdegree)$  ⇒

$E=sen(18\textdegree+27\textdegree)$  ⇒

$E=sen(45\textdegree)$  ⇒

$E= \frac{\sqrt{2}}{2}$

Letra b)

Chamando a expressão trigonométrica de $E'$, temos:

$E' =\frac{sen(65\textdegree)\cdot cos(20\textdegree)-sen(20\textdegree)\cdot cos(65\textdegree)}{cos(36\textdegree)\cdot cos(9\textdegree)-sen(36\textdegree)\cdot sen(9\textdegree)}$  ⇒

$E' = \frac{cos(90\textdegree-65\textdegree)\cdot cos(20\textdegree)-sen(20\textdegree)\cdot sen(90\textdegree-65\textdegree)}{sen(90\textdegree-36\textdegree)\cdot cos(9\textdegree)-sen(9\textdegree)\cdot cos(90\textdegree-36\textdegree)}$  ⇒

$E' =\frac{cos(25\textdegree)\cdot cos(20\textdegree)-sen(25\textdegree)\cdot sen(20\textdegree)}{sen(54\textdegree)\cdot cos(9\textdegree) - sen(9\textdegree)\cdot cos(54\textdegree)}$  ⇒

$E' =\frac{cos(25\textdegree +20\textdegree)}{sen(54\textdegree-9\textdegree)}$  ⇒

$E' =\frac{cos(45\textdegree)}{sen(45\textdegree)}$  ⇒

$E' = \frac{sen(45\textdegree)}{sen(45\textdegree)}$  ⇒

$E' =1$

Abraços!