Question

Dada a equação$3x^2+(m^3-8)x-81=0$, determine o valor de m para que a equação tenha duas raízes reais e simétricas

Answer 1

✅ Tendo terminado os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "m" que produz raiz simétricas na referida equação do segundo grau é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m = 2\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x^{2} + (m^{3} - 8)x - 81 = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

              $\Large\begin{cases} a = 3\\b = m^{3} - 8\\c = -81\end{cases}$  

Observe que a equação do segundo grau dada foi gerada a partir da seguinte função quadrática:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 3x^{2} + (m^{3} - 8)x - 81 \end{gathered}$  

Dizemos que duas raízes de uma equação do segundo grau são simétricas se, e somente se, elas possuírem o mesmo valor, porém, com sinais opostos.

Para que uma equação do segundo grau tenha duas raízes simétricas é necessário que b = 0. Então, temos:

             $\Large \begin{aligned} b & = 0\\m^{3} - 8 & = 0\\m^{3} & = 8\\m & = \sqrt[3]{8}\\m & = 2 \end{aligned}$

✅ Portanto, o valor de "m" é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = 2\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Prova:\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Sendo m = 2:

     $\Large \text { \begin{aligned}3x^{2} + (m^{3} - 8)x - 81 & = 0\\3x^{2} + (2^{3} - 8)x - 81 & = 0\\3x^{2} + (8 - 8)x - 81 & = 0\\3x^{2} + 0\cdot x - 81 & = 0\\3x^{2} - 81 & = 0\\x^{2} - 27 & = 0\\x^{2} & = 27\\x & = \pm\sqrt{27}\\x & = \pm\sqrt[\!\diagup\!\!]{3^{\!\diagup\!\!\!2}\cdot3}\\x & = \pm3\sqrt{3}\end{aligned} }$

✅ Portanto, as raízes simétricas pertencem ao seguinte conjunto solução:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \{-3\sqrt{3},\,3\sqrt{3}\}\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$