Question

As placas de veículos atuais são formadas por
três letras seguidas de quatro algarismos. Consi-
derando o alfabeto com 26 letras, quantas placas
distintas podem ser fabricadas de modo que:
e) só apareçam algarismos ímpares e em ordem
crescente?

me ajudem!! não estou entendendo porque raios são só 5 possibilidades de números impares em ordem crescente ​

Answer 1

Resposta:

87880 maneiras destintas

Explicação passo-a-passo:

Divida o problema em duas partes, primeiro vamos descobrir quantas sequências de 3 letras distintas podemos formar e depois de quantas maneiras podemos escolher 4 dígitos ímpares e de forma crescente.

Como não á restrição quanto as letras da placas, você pode imaginar que não importa a ordem e muito menos se uma letra se repete. Então temos que:

primeira letra => são 26 letras para escolher

segunda letra => são 26 letras para escolher

terceira letra => são 26 letras para escolher

No total temos $26*26*26$ maneiras de fabricar as 3 letras da placa. Ou seja, $26^3 = [tex]17576*5 = 87880$[/tex] maneiras distintas.

Agora, vamos descobrir como ficaria a escolha dos 4 dígitos da placa. Se já sabemos que devem aparecer apenas números impares então isso significa que podemos escolher os números 1, 3, 5, 7 e 9 para montar essa sequência. Temos 5 números para escolher 4 e se esses quatro devem está dispostos de forma crescente, não se pode repetir um dígito. Por exemplo, a sequência 1355 não seria válida, pois o 5 se repete. Para contarmos quantas sequências de 4 dígitos podemos formar usamos arranjo, sem repetição, da seguinte forma.

Queremos combinar 4 dígitos distintos, então precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher 4 números distintos do conjunto com 5 números {1, 3, 5, 7, 9}.

$C_n^{k} = \frac{n!}{(n - k)!k!}$

Temos $n = 5$ e queremos escolher $k = 4$.

logo,

$C_5^{4} = \frac{5!}{(5 - 4)!4!}\\\\C_5^{4} = \frac{5*4!}{1!4!} = 5$

Então basta mutiplicarmos o número de formas de escolhermos as 3 letras pelo o número de maneiras de combinarmos 4 números ímpares de forma crescente.$17576*5 = 87880$