Question

QUESTÃO DE DERIVADA
Se f(x) = log(2x² + 1)^4 , calcule f' (1):

Por favor, preciso muito do cálculo. :(

Answer 1

Regra da cadeia:

$\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Quando temos uma composição de três funções deriváveis (f, g e h), ela fica dessa forma:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}f(g(h(x)))=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)}}$

Regras de derivação que utilizarei no desenvolvimento:

$\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}\\\\\\\dfrac{d}{dx}ln(x)=\dfrac{1}{x}\\\\\\\dfrac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)+\dfrac{d}{dx}g(x)$

Caso log seja realmente o logaritmo na base 10:

$\dfrac{d}{dx}log(x)=\dfrac{1}{x\cdot ln~10}$
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Considere as funções:

p(x) = log(x)
q(x) = x⁴
r(x) = 2x² + 1

q(r(x)) = (2x²+1)⁴, então, p(q(r(x))) será:

$p(q(r(x)))=log~(2x^{2}+1)^{4}=f(x)$
______

A derivada dessa função será encontrada pela regra da cadeia:

$\dfrac{d}{dx}p(q(r(x)))=p'(q(r(x)))\cdot q'(r(x))\cdot r'(x)\\\\\\\dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{1}{(2x^{2}+1)^{4}}\cdot4(2x^{2}+1)^{4-1}\cdot\dfrac{d}{dx}(2x^{2}+1)\\\\\\f'(x)=\dfrac{1}{(2x^{2}+1)^{4}}\cdot4(2x^{2}+1)^{3}\cdot(2\cdot2x^{2-1}+0)\\\\\\f'(x)=\dfrac{1}{(2x^{2}+1)^{4-3}}\cdot4(4x)\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=\dfrac{16x}{2x^{2}+1}}}$

Então, f'(1) é:

$f'(1)=\dfrac{16\cdot1}{2\cdot1^{2}+1}=\dfrac{16}{2+1}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{f'(1)=\dfrac{16}{3}}}$
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Caso log(x) seja log de x na base 10:

$p(x)=log(x)\\q(x)=x^{4}\\r(x)=2x^{2}+1\\\\ent\~ao,~f(x)=p(q(r(x))$

Derivando f em relação a x:

$\dfrac{d}{dx}f(x)=p'(q(r(x)))\cdot q'(r(x))\cdot r'(x)\\\\\\f'(x)=\dfrac{1}{(2x^{2}+1)^{4}ln(10)}\cdot4(2x^{2}+1)^{3}\cdot(4x+0)\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=\dfrac{16x}{(2x^{2}+1)\cdot ln(10)}}}$

Enão, f'(1) será:

$f'(1)=\dfrac{16\cdot1}{(2\cdot1^{2}+1)\cdot ln(10)}=\boxed{\boxed{\dfrac{16}{3\cdot ln(10)}}}$