Question

Alguém pode me ajudar, por favor

Answer 1

Resposta:

a) $f(x) = \frac{-2}{3} x +2$ .

b) $f(x) = 3x +3$ .

c) $f(x) = \frac{1}{3} x -1$ .

d) $f(x) = x - 1$ .

e) $f(x) = -x + 1$ .

f)  $f(x) = \frac{1}{2} x + 2$ .

Explicação passo-a-passo:

Quando você se depara com o gráfico de uma função sendo uma reta, você sabe que ela sempre vai ser uma função do primeiro grau. Ou seja, ela vai ter essa cara:

                                          $f(x) = ax + b$

Podemos chamar o a de coeficiente angular e b de coeficiente linear. Eles determinam elementos importantes na função:

a: Determina a inclinação da função e se ela é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0).

b: Determina o ponto que a função corta o eixo y ou eixo das ordenadas.

Sabendo disso, vamos aos gráficos:

a) A função corta o eixo y no 2. Logo, b = 2. Colocando na função:

                                         $f(x) = ax + 2$

Para achar o a, basta substituir na função outro ponto que pertence a ela. No caso, é o ponto (3,0). Substituindo:

                                         $0 = a . (3) + 2\\3a +2 = 0\\3a = -2\\a = \frac{-2}{3}$

Substituindo a na função:

                                         $f(x) = \frac{-2}{3} x +2$ .

b) A função corta o eixo y no 3. Logo, b = 3. Colocando na função:

                                         $f(x) = ax + 3$

Pegando outro ponto da função (-1,0), substituímos para achar a:

                                         $0 = a . (-1) + 3\\-a +3 = 0\\-a = -3\\a = 3$

Substituindo a na função, temos a lei de formação:

                                         $f(x) = 3x +3$ .

c) A função corta o eixo y no -1. Logo, b = -1. Substituindo na função:

                                         $f(x) = ax - 1$

Substituindo o ponto (6,1) que pertence à função, encontramos a:

                                         $1 = a . (6) - 1\\6a - 1 = 1\\6a = 2\\a = \frac{2}{6}  = \frac{1}{3}$ .

Substituindo a na função, a gente encontra a lei de formação:

                                         $f(x) = \frac{1}{3}x - 1$ .

d) Agora, a gente não tem o ponto que a função corta o eixo y. Mas sem problemas! Apenas com 2 pontos de uma função, é possível determinar a lei de formação dela!

Eu vou resolver por sistema, mas se quiser, pode resolver pela famosa expressão yoyo mi xoxo.

Substituindo o ponto (1,0) na função, temos:

                                         $0 = a + b$

Substituindo o ponto (3,2) na função, temos:

                                         $2 = 3a + b$

Tcharan! Temos 2 equações que relacionam a e b. Vamos por elas em um sistema então:

                                         $\left \{ {{3a + b = 2} \atop {a + b = 0} \right.$

Vamos multiplicar a equação de baixo por -1 para anular o b:

                                          $\left \{ {{3a + b = 2} \atop {-a + -b = 0} \right.$

Agora, vamos usar o método da adição para resolver o sistema:

                                          $3a + b - a - b = 2 + 0$

                                          $2a = 2$

                                          $a = 1$

Substituindo na equação de baixo:

                                          $1 + b = 0$

                                          $b = -1$ .

Assim, temos a e b. Agora é só substituir na função:

                                          $f(x) = x - 1$ .

e) Vamos fazer o mesmo que fizemos na letra d, já que não sabemos em que ponto a função corta o eixo y. Substituindo (-1,2) :

                                          $2 = a . (-1) + b$

                                          $-a + b = 2$ .

E substituindo (2,-1) :

                                          $-1 = a . (2) + b$

                                          $2a + b = -1$ .

Com 2 equações, podemos formar um sistema:

                                          $\left \{ {{2a + b = -1} \atop {-a + b = 2} \right.$

Multiplicando a de baixo por -1, temos:

                                          $\left \{ {{2a + b = -1} \atop {a - b = -2} \right.$

Somando as equações:

                                          $2a + b + a - b = -1 -2$

                                          $3a = -3$

                                          $a = -1$

Substituindo a na equação de baixo para encontrar b:

                                          $-1 -b = -2$

                                          $-b = -1$

                                          $b = 1$ .

Substituindo na função:

                                          $f(x) = -x + 1$ .

f) Mesma coisa. Vamos substituir o ponto (-2,1):

                                          $1 = a . (-2) + b$

                                          $-2a + b = 1$ .

E substituindo o ponto (2,3):

                                          $3 = a . (2) + b$

                                          $2a + b = 3$ .

Isso mesmo, 2 equações, mais um sistema:

                                          $\left \{ {{-2a + b = 1} \atop {2a + b = 3} \right.$

Agora, se você perceber, ao somarmos as 2 equações, o a se anula. Então nem precisamos nos preocupar em multiplicar uma das equações.

Assim, vamos somar:

                                          $-2a + b +2a +b = 1 +3$

                                          $2b = 4$

                                          $b = 2$ .

Vamos substituir b na equação de baixo:

                                          $2a + 2 = 3$

                                          $2a = 3 - 2$

                                          $2a = 1$

                                          $a = \frac{1}{2}$ .

Finalmente, substituindo na função:

                                          $f(x) = \frac{1}{2} x + 2$ .

Obs: Uma dica para saber se você está fazendo direito é observar se a função forma uma reta que desce ou se sobe/cresce. Se ela cresce e seu a está dando negativo ou vice-versa quando ela desce e seu a é positivo, então você está indo no caminho errado. De resto era isso. Bons estudos! ;)