Question

Eq. diferencial separável
A) ydy=2t(y²+9)dt
B) dx+dy/y^4=0

Answer 1

A)Seja $ydy=2t(y ^2+9)dt$

o primeiro passo é dividir tudo por $y^2+9$

$\dfrac{ydy}{(y^2+9)}=2tdt$

assim vemos que todos os "y" estão de um lado da equação e todos os "t" do outro.

esta é uma equação separável

agora precisamos fazer a seguinte mudança de variável:

$(y^2+9) = u\\2ydy=du$

e substituindo de volta na equação

$\dfrac{du}{(2u)}=2tdt$

podemos integrar

$\int\dfrac{du}{(2u)}=\int2t.dt$

$\dfrac{ln(u)}{2}=t^2+C$

$ln(u)=2t^2$

e, exponenciando

$e^{ln(u)}=e^{2t^2}+C$

obtemos que:

$u=C. e^{2t^2}$

B) dx+dy/y^4=0

Podemos integrar diretamente.

$\int dx +\int y^{-4} dy=0$

$x -\dfrac{1}{3}y^{-3} =0$

$x =\dfrac{1}{3y^{3}}$

$y^{3} =\dfrac{1}{3x}$

$y =\dfrac{1}{(3x)^\frac{1}{3}}$

Answer 2

$\huge\mathsf{y\,dy=2t({y}^{2}+9)\,dt}\\\mathsf{\dfrac{y\,dy}{{y}^{2}+9}=2t\,dt}\\\mathsf{\int\,\dfrac{y\,dy}{{y}^{2}+9}=\int\,2t\,dt}$

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2y\,dy}{{y}^{2}+9}=\int\,2t\,dt}\\\mathsf{ln|\sqrt{{y}^{2}+9}|={t}^{2}}\\\mathsf{{e}^{ln|\sqrt{{y}^{2}+9}|}={e}^{{t}^{2}}}$

$\mathsf{\sqrt{{y}^{2}+9}={e}^{{t}^{2}}}\\\mathsf{{y}^{2}+9={e}^{2{t}^{2}}}\\y(t)=\sqrt{{e}^{2{t}^{2}}-9}$

b)

$\mathsf{dx+\dfrac{dy}{{y}^{4}}=0}\\\mathsf{dx=-\dfrac{dy}{{y}^{4}}}$

$\mathsf{\int\,dx=-\int\dfrac{dy}{{y}^{4}}}\\\mathsf{x=\dfrac{1}{3{y}^{3}}}\\\mathsf{{y}^{3}=\dfrac{1}{3x}}\\\large\mathsf{y=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3x}}+k}$