Question

A probabilidade de um atirador acertar no alvo num único tiro é ¼. O atirador atira 20 vezes no alvo. A probabilidade de ele acertar pelo menos 3 vezes é aproximadamente:
a) 0,909 b) 0,091 c) 0,775 d) 0,225

Answer 1

Alternativa A: 0,909.

Uma vez que o atirador possui 1/4 de chances de acertar o alvo, ele possui 3/4 de chances de errar o mesmo. Como devemos calcular a probabilidade dele acertar o alvo pelo menos 3 vezes, vamos calcular a probabilidade de ele acertar nenhuma, uma ou duas vezes e descontar esse valor de 100%.

Para que o atirador erre todos os tiros, basta elevar a fração equivalente as chances de erro a 20. Assim:

$\textbf{Errar 20 = }(\frac{3}{4})^{20}$

Para que o atirador acerte apenas um, devemos elevar o valor anterior a 19 e multiplicar por 1/4, referente ao acerto. Ainda, devemos multiplicar esse valor por C₂₀,₁₉, pois ele pode acertar qualquer um dos vinte tiros.

$\textbf{Errar 19 e acertar 1 = }(\frac{20!}{19!})\times (\frac{1}{4})\times (\frac{3}{4})^{19}$

De maneira análoga ao item anterior, vamos calcular as chances de ele acertar dois tiros:

$\textbf{Errar 18 e acertar 2 = }(\frac{20!}{18!2!})\times (\frac{1}{4})^2\times (\frac{3}{4})^{18}$

Por fim, vamos descontar todas essas probabilidades de 1. Assim, o resultado será a probabilidade de acertar 3 ou mais tiros. Portanto:

$P=1-[(\frac{3}{4})^{20}+(\frac{20!}{19!})\times (\frac{1}{4})\times (\frac{3}{4})^{19}+(\frac{20!}{18!2!})\times (\frac{1}{4})^2\times (\frac{3}{4})^{18}]\approx 0,909$