Question

Deduza a equação de uma parábola de foco F=(1,1) e vértice (0,0).

Galera quem puder me ajudar nessa, ficarei muito grato.

Answer 1

Resposta:

x² - 8x + y² - 8y = 2xy

Explicação passo-a-passo:

Oi, tudo bom? Essa questão é bem chata, mas vamos lá!

A parábola tem foco F(1,1) e vértice V(0,0).

Se o foco fica em (1,1) e o vértice em (0,0) é correto afirmar que seu eixo de simetria seria s: y = x e a diretriz teria como ponto correspondente ao do foco, A(-1,-1). Como a diretriz deve ser perpendicular ao eixo de simetria, podemos afirmar que o coeficiente a da diretriz será -1.

Com essas informações:

y = ax + b

y = -x + b

-1 = 1 + b

b = -2

y = -x -2

Na equação geral da reta, a diretriz é:

x + y + 2 = 0

Tomando um ponto P(x,y) na parábola e sabendo que a distância entre o ponto P e o Foco (1,1) deve ser igual a distância entre P e a reta diretriz, podemos fazer a seguinte relação:

$\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}  } = \frac{x+y+2}{\sqrt{(1+1)} }$

$\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}  } = \frac{\sqrt{2}(x+y+2) }{2}$

(x-1)² + (y-1)² = (x + y + 2)²/2

x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = (x² + 2xy + 4x + y² + 4y + 4)/2

2x² - 4x + 2 + 2y² - 4y + 2 = x² + 2xy + 4x + y² + 4y + 4

x² + y² - 8x - 8y -2xy = 0

A resposta portanto é:

x² - 8x + y² - 8y = 2xy

No plano cartesiano para ilustrar: