Question

A posição de uma partícula é dada pela função x= At² - Bt³ , onde x está em metros e t em

segundos.


Considerações:
g = 9,81 m/s²
N1 = 38
N2 = 9


Determine:

a) O instante t em que a velocidade da partícula é zero.

b) A posição da partícula x para v=0

c) O instante t em que a aceleração é zero.

d) A posição da partícula x para a=0​

Answer 1

Resolvendo estas equações de trajetoria por derivada, temos que:

a) t=0 e em t=2A/3B.

b) x=0 e x=4A³/27B².

c) t = A/3B.

d) x = 2A³/27B².

Explicação:

Então temos nossa funçã odeslocamento:

$x(t)=At^2-Bt^3$

Sabemos que a velocidade é a derivada d oespaço pelo tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade pelo tempo, então podemos também econtrar a função velocidade e a função aceleração:

$v(t)=2At-3Bt^2$

$a(t)=2A-6Bt$

Com isso podemos responder as questões:

a) O instante t em que a velocidade da partícula é zero.

Basta pegarmos a função velocidade e igualar a 0:

$v(t)=2At-3Bt^2=0$

$2At-3Bt^2=0$

$t(2A-3Bt)=0$

Assim colocando o t em evidência vemos que temos duas soluções para t:

$t_1=0$

$2A-3Bt=0$

$3Bt=2A$

$t_2=\frac{2A}{3B}$

Assim esta velocidade é 0 em dois momentos, em t=0 e em t=2A/3B.

b) A posição da partícula x para v=0.

Basta substituirmos os tempos que encontramos na função espaço agora:

$x(t)=At^2-Bt^3$

Para t=0, x=0.

Para t = 2A/3B:

$x(t)=A(\frac{2A}{3B})^2-B(\frac{2A}{3B})^3$

$x(t)=\frac{4A^3}{9B^2}-\frac{8A^2B}{27B^3}$

$x(t)=\frac{12A^3B}{27B^3}-\frac{8A^2B}{27B^3}$

$x(t)=\frac{12A^3B-8A^3B}{27B^3}$

$x(t)=\frac{4A^3B}{27B^3}$

$x(t)=\frac{4A^3}{27B^2}$

Assim temos duas posições para v=0: x=0 e x=4A³/27B².

c) O instante t em que a aceleração é zero.

Basta pegarmos a função aceleração e igualar a 0:

$a(t)=2A-6Bt=0$

$2A-6Bt=0$

$6Bt=2A$

$t=\frac{2A}{6B}$

$t=\frac{A}{3B}$

Assim aceleração é 0 em t = A/3B.

d) A posição da partícula x para a=0​.

Basta substituirmos o temp oque encontramos para a=0 na função posição:

$x(t)=At^2-Bt^3$

$x(t)=A(\frac{A}{3B})^2-B(\frac{A}{3B})^3$

$x(t)=\frac{A^3}{9B^2}-\frac{A^2B}{27B^3}$

$x(t)=\frac{3A^3B}{27B^3}-\frac{A^2B}{27B^3}$

$x(t)=\frac{3A^3B-A^3B}{27B^3}$

$x(t)=\frac{2A^3B}{27B^3}$

$x(t)=\frac{2A^3}{27B^2}$

Então quando a=0, temos que x = 2A³/27B².