Question

Numa pirâmide hexagonal, a aresta da base tem 12 cm e a aresta lateral tem 20 cm. Calcular o volume da pirâmide

Answer 1

Resposta:

É importante notar que um hexágono é constituído por seis triângulos equiláteros. É notável que a altura do triângulo equilátero vermelho, é exatamente igual a um dos catetos do triângulo retângulo. Portanto, vamos descobrir a sua altura com a seguinte fórmula:

$h = l \times \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ h = 20 \times \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ h = 10 \sqrt{3}cm$

Agora vamos descobrir a altura da pirâmide usando o Teorema de Pitágoras:

${c}^{2} = {r}^{2} + {h}^{2} \\ {20}^{2} = {(10 \sqrt{3} })^{2} + h \\ 400 =300 + h \\ h = 100$

Agora é só descobrir a área da base (hexágono):

$a = {6 \times l}^{2} \times \frac{ \sqrt{3} }{4} \\ a = {6 \times 12}^{2} \times \frac{ \sqrt{3} }{4} \\ a = 216 \sqrt{3} \: {cm}^{2}$

Por fim, vamos usar a fórmula do volume da pirâmide para encontrarmos o volume pedido:

$v = \frac{a \times h}{3} \\ v = \frac{216 \sqrt{3} \times 100}{3} \\ v = 7200 \ \sqrt{3} \: \: {cm}^{3}$