Sabendo que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial, determine uma base
para o conjunto solução do sistema linear seguinte:
x+y+z=0
2×-y-3z=0
×-2y-4z=0
Alguém pode me ajudar?
Respostas
Uma base para o conjunto solução do sistema linear é {(2/3,-5/3,1)}.
Vamos resolver o sistema linear.
Da primeira equação, podemos dizer que y = -x - z.
Substituindo o valor de y na segunda equação:
2x - (-x - z) - 3z = 0
2x + x + z - 3z = 0
3x - 2z = 0
3x = 2z
x = 2z/3.
Então, o valor de y em função de z é:
y = -2z/3 - z
y = -5z/3.
Substituindo os valores de x e y na terceira equação:
2z/3 - 2(-5z/3) - 4z = 0
2z/3 + 10z/3 - 4z = 0
12z/3 - 4z = 0
4z - 4z = 0
0 = 0.
Ou seja, o sistema é possível e indeterminado: possui infinitas soluções.
Então, o conjunto solução do sistema pode ser S = {z ∈ IR / (2z/3, -5z/3, z)}.
Perceba que (2z/3, -5z/3, z) = z(2/3,-5/3,1).
O enunciado nos informa que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
A base de um subespaço é formada por vetores linearmente independentes.
Assim, de (2z/3, -5z/3, z) = z(2/3,-5/3,1) podemos dizer que uma base é B = {(2/3,-5/3,1)}.