Question

Determine a integral da função abaixo ( lembre-se de colocar a constante no final ) em seguida verifique sua resposta derivando a :

f ( x ) = x ( 2 - x )²

Answer 1

Preparando a função:

$f_{(x)}=x(2-x)^2\\\\ f_{(x)}=x(4-4x+x^2)\\\\ f_{(x)}=4x-4x^2+x^3\\\\ f_{(x)}=x^3-4x^2+4x$

Integrando:

$\int (x^3-4x^2+4x).dx\\\\ =\frac{x^{3+1}}{3+1}-\frac{4x^{2+1}}{2+1}+\frac{4x^{1+1}}{1+1}\\\\ =\frac{x^{4}}{4}-\frac{4x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{2}\\\\ \boxed{\boxed{=\frac{x^{4}}{4}-\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+C}}$

Derivando:

$f'_{(x)}=\frac{x^{4}}{4}-\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+C\\\\ f'_{(x)}=\frac{(4)x^{4-1}}{4}-\frac{4(3)x^{3-1}}{3}+2(2)x^{2-1}+0\\\\ f'_{(x)}=\frac{4x^{3}}{4}-\frac{12x^{2}}{3}+4x^{1}\\\\ \boxed{\boxed{f'_{(x)}=x^{3}-4x^{2}+4x}}$

Espero ter ajudado.
Bons estudos!