Question

Questão: A origem e o ponto (a,a) são vértices opostos de um quadrado. Calcule a razão das áreas das duas partes em que a curva √x + √y = √a divide este quadrado. Resposta: 5 para 1.

Obs.: Eu postei minha resolução, mas ela não bate com o gabarito. Se possível, apontem meu erro.

Obrigado desde já.

Answer 1

A razão das áreas das duas partes em que a curva √x + √y = √a divide este quadrado é igual a 5/1 ou 1/5.

Abaixo, temos o quadrado de lado a e a curva que representa a equação √x + √y = √a.

Primeiramente, vamos determinar a área hachurada da figura. Para isso, utilizaremos a integral definida.

Sendo √x + √y = √a, temos que:

√y = √a - √x

(√y)² = (√a - √x)²

y = a - 2√ax + x.

O valor de x está compreendido entre 0 e a.

Então:

$\int\limits^a_0 {a-2\sqrt{ax}+x} \, dx =ax - \frac{4x\sqrt{ax}}{3}+\frac{x^2}{2}$.

Substituindo os limites de integração, obtemos a área:

A' = a²/6.

A área do quadrado é igual a a². Então, a outra área determinada pela curva é igual a A'' = a² - a²/6 = 5a²/6.

Portanto, a razão entre as áreas das duas partes em que a curva √x + √y = √a divide o quadrado é igual a:

A'/A'' = (a²/6).(6/5a²)

A'/A'' = 1/5

ou

A''/A' = (5a²/6).(6/a²)

A''/A' = 5/1.