Question

As Relíquias da Morte, símbolo da saga literária Harry Potter, escrito por J. K. Rowling, é formado por um triângulo equilátero, um círculo concêntrico, inscrito no triângulo, e uma reta perpendicular que liga o ponto médio da base do triângulo a um de seus vértices.




Considerando que a base desse triângulo vale 8 cm, qual é o valor da área sombreada?
A)

cm
B)

cm
C)

cm
D)

cm
E)

cm

Answer 1

O valor da área sombreada é $S=\frac{8}{\sqrt{3}}-\frac{8\pi}{9}$ cm².

Vamos considerar que o raio da circunferência inscrita mede r.

Observe a figura abaixo.

Como o triângulo é equilátero e os seus lados medem 8 cm, então os segmentos DE, CB e BE medem 4 centímetros.

O ângulo E mede 60º. Já os ângulos ADE e ABE são retos.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º.

Assim, o ângulo DAB mede 120º.

Consequentemente, o ângulo CAB mede 60º.

Observe o triângulo retângulo ABC.

Para calcularmos a medida do raio, utilizaremos a razão trigonométrica tangente.

Logo:

tg(60) = 4/r

√3 = 4/r

r = 4/√3.

A área sombreada será igual à diferença entre a área do triângulo ABC e a área do setor de 60º.

Portanto:

$S=\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}.4}{2}-\frac{\pi (\frac{4}{\sqrt{3}})^2 . 60}{360}$

$S=\frac{8}{\sqrt{3}}-\frac{8\pi}{9}$ cm².