Question

Assinale a alternativa que representa a transformação t resultado de uma contração s de 1/raiz2 seguida de uma rotação r de pi/4.

Answer 1

Utilizando as matrizes de transformações usuais, temos que a alternativa correta é Letra E.

Explicação passo-a-passo:

Se quisermos uma tranformação que contrái em 1/√2, basta usarmos a identidade vezes este valor. Para rotacionarmos, basta usarmos a matriz de rotação, assim combinando estas duas temos a transformação:

$T=\frac{1}{\sqrt{2}}.I.\left[\begin{array}{cc}cos(\theta)&-sen(\theta)\\sen(\theta)&cos(\theta)\end{array}\right]$

Como identidade vezes qualquer matriz é ela mesma, e o nosso angulo é pi/4:

$T=\frac{1}{\sqrt{2}}.\left[\begin{array}{cc}cos(\frac{\pi}{4})&-sen(\frac{\pi}{4})\\sen(\frac{\pi}{4})&cos(\frac{\pi}{4})\end{array}\right]$

Substituindo pelo valor dos senos e cossenos:

$T=\frac{1}{\sqrt{2}}.\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$

Passando o número para dentro:

$T=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$

$T=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

Aplicando um vetor (x,y) com esta ransformação:

$T.\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]$

$T.\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{x-y}{2}\\\frac{x+y}{2}\end{array}\right]$

Assim temos que esta vetor após tranformado é :

$\left[\begin{array}{c}\frac{x-y}{2}\\\frac{x+y}{2}\end{array}\right]$

Alternativa correta é Letra E.

Answer 2

Resposta:

Letra E. T=(RoS)(x,y)=(x-y/2,x+y/2)

Explicação passo a passo: