Question

como faço para calcular o termo independente de x na expansão (x^2+1/x)^9 ?​

Answer 1

De acordo com o Binomio de Newton

(A + B)ⁿ = $\boldsymbol{\binom{n}{0}a^n.b^0+\binom{n}{1}a^{n-1}.b^1+\binom{n}{2}a^{n-2}.b^2+...+\binom{n}{n}a^{n-n}.b^n}$

Para o nosso caso

(X² + 1/X)⁹ = $\boldsymbol{\binom{9}{0}(X^2)^9.(\frac{1}{X})^0+\binom{9}{1}(X^2)^8.(\frac{1}{X})^1+\binom{9}{2}(X^2)^7.(\frac{1}{X})^2+...+\binom{9}{9}(X^2)^0.(\frac{1}{X})^9}$

Observando o desenvolvimento do binomio acima, percebemos que sempre teremos termos com a variável X, EXCETO quando

(X²)ᵃ . (1/X)ᵇ ⇒ b = 2a

pois neste caso o X seria eliminado. Suponhamos que a=20 e b=40

(X²)²⁰ . (1/X)⁴⁰ ⇒ X⁴⁰ . 1/X⁴⁰ = 1 (resultado nao possui variável)

Conforme mostrado acima:

parte do primeiro termo: (X²)⁹ . (1/X)⁰ = X¹⁸ . 1 = X¹⁸

parte do segundo termo: (X²)⁸ . (1/X)¹ = X¹⁶ . 1/X = X¹⁵

parte do terceiro termo: (X²)⁷ . (1/X)² = X¹⁴ . 1/X² = X¹²

parte do quarto termo: (X²)⁶ . (1/X)³ = X¹² . 1/X³ = X⁹

parte do quinto termo: (X²)⁵ . (1/X)⁴ = X¹⁰ . 1/X⁴ = X⁶

parte do sexto termo: (X²)⁴ . (1/X)⁵ = X⁸ . 1/X⁵ = X³

parte do sétimo termo: (X²)³ . (1/X)⁶ = X⁶ . 1/X⁶ = X⁰ = 1

parte do oitavo termo: (X²)² . (1/X)⁷ = X⁴ . 1/X⁷ = 1/X³

parte do nono termo: (X²)¹ . (1/X)⁸ = X² . 1/X⁸ = 1/X⁶

parte do décimo termo: (X²)⁰ . (1/X)⁹ = X⁰ . 1/X⁹ = 1/X⁹

Sendo assim concluimos que (X²)ᵃ . (1/X)ᵇ ocorre no 7º termo. Escrevendo-o:

$\boldsymbol{\binom{9}{6}(X^2)^3.(\frac{1}{X})^6=\binom{9}{6}(X^6).(\frac{1}{X})^6=\binom{9}{6}}$

$\boldsymbol{\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!(9-6)!}=\frac{9!}{6!\cdot 3!}}$

$\boldsymbol{\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!(9-6)!}=\frac{9!}{6!\cdot 3!}=\frac{9.8.7.6!}{6!\cdot 3!}=\frac{9.8.7}{3!}=\frac{504}{6}=84}$