Question

Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar.

Texto elaborado pelo Professor, 2019.

Levando em consideração esses fatos, julgue as proposições abaixo:

Answer 1

É uma transformação linear T uma operação que transforma vetores de um espaço vetorial V para outro W, sendo V e W espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K.

$T: V \rightarrow W$

Além disso, é chamada transformação linear pois, a operação é linear, ou seja, essa igualdade vale:

$T(\lambda v+u) = \lambda T(v)+T(u), \:\:\: v,u \in V, \: \forall \:\:\lambda \in \mathbb{K}$

Vamos analisar as alternativas:

1) $T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, T(x) = 1$

Ou seja, todo vetor em R retorna um único resultado: 1, em R.

Para ser transformação linear deve valer:

$T(\lambda v+u)=\lambda T(v)+T(u)$

Isso quer dizer que:

$1 = \lambda*1+1$

$\lambda+1 = 1$

Perceba que isso limita o valor de nosso escalar, que poderia ser qualquer um do corpo K, e portanto, a Transformação linear não existe.

2) $T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}, T(x,y) = x+y$

Para ser transformação linear deve valer

$T(\lambda v+u)=\lambda T(v)+T(u)$

Tome v e u vetores genéricos no R² tais que

$v = (a,b), \:\:u = (c,d)$

$T(\lambda v+u) = T(\lambda a+c, \lambda b+ d) = \lambda a+ \lambda b+ c+d = \lambda (a+b)+c+d$

$\lambda T(v) + T(u) = \lambda T(a,b) + T(c,d) = \lambda (a+b)+ c+ d$

$\therefore T(\lambda v+u) = \lambda T(v)+T(u)$

T é transformação linear.

3) $T:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2, T(x) = (x, 0)$

Verificaremos a igualdade T(λa+b) = λT(a)+T(b)

$T(\lambda a+b) = (\lambda a + b, 0)$

$\lambda T(a) + T(b) = \lambda * (a,0) + (b,0) = (\lambda a, 0)+(b, 0) = (\lambda a + b, 0)$

$\therefore T(\lambda a+b) = \lambda T(a)+T(b)$

4) $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2, T(x,y) = (x^2,y)$

Verificaremos a igualdade tomando v e u vetores de R²

$v = (x,y), \:\: u = (a,b)$

$T(\lambda v + u) = T(\lambda x + a, \lambda y +b) = ((\lambda x + a)^2, \lambda y +b)$

$\lambda T(v) + T(u) = \lambda T(x,y) + T(a,b) = \lambda *(x^2,y)+(a^2, b) = (\lambda x^2 + a^2, \lambda y + b$

Perceba que os dois métodos não retornaram a mesma coisa, já que o primeiro elemento difere entre eles:

$(lambda x+a)^2 \neq \lambda x^2 + a^2$

E portanto, T não é transformação linear.

Answer 2

Resposta:

Alternativa 2:

II e III, apenas.

Explicação passo a passo: