Question

Sabendo que P e (P² + 5)/(P - 2) pertence a N*, calcule os possíveis valores de P.

Answer 1

Olá!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{S = \left \{ 3, 5, 11 \right \}}}$

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, dividimos $\displaystyle \mathtt{P^2 + 5}$ por $\displaystyle \mathtt{P - 2}$ pelo método da chave. Segue,

+ P² + 5 | P - 2

_______| P + 2

+ P² + 5

- P² + 2P

_______

+ 2P + 5

- 2P + 4

_______

9

Isto é, $\displaystyle \boxed{\mathtt{P^2 + 5 = (P - 2) \cdot (P + 2) + 9}}$.

Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{P^2 + 5}{P - 2} = P + 2 + \frac{9}{P - 2}}$

Por fim, uma vez que $\displaystyle \mathtt{\frac{P^2 + 5}{P - 2} \, \in \mathbb{N}^{\ast}}$, analisamos a fração $\displaystyle \mathtt{\frac{9}{P - 2}}$ de maneira que sua divisão seja exata, afinal, $\displaystyle \mathtt{P + 2 \in \mathbb{N}^{\ast}}$.

A divisão de NOVE por $\displaystyle \mathtt{P - 2}$ será exata se o denominador for divisível por 9.

Ora, tendo em vista que o nove admite apenas $\displaystyle \mathtt{\left \{ 1, 3, 9 \right \}}$, fazemos:

$\\ \displaystyle \bullet \qquad \texttt{Quando} \, \boxed{\mathtt{P - 2 = 1}}$

implica que $\displaystyle \boxed{\boxed{\mathtt{P = 3}}}$

$\\ \displaystyle \bullet \qquad \texttt{Quando} \, \boxed{\mathtt{P - 2 = 3}}$

implica que $\displaystyle \boxed{\boxed{\mathtt{P = 5}}}$

$\\ \displaystyle \bullet \qquad \texttt{Quando} \, \boxed{\mathtt{P - 2 = 9}}$

implica que $\displaystyle \boxed{\boxed{\mathtt{P = 11}}}$