Question

Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar.

Texto elaborado pelo Professor, 2019.

Levando em consideração esses fatos, julgue as proposições abaixo:

Estão corretas:

Answer 1

Estão corretas as proposições II e III.

As proposições são:

I) A transformação T: R → R, T(x) = 1 é uma transformação linear.

II) A transformação T: R² → R, T(x,y) = x + y é uma transformação linear.

III) A transformação T: R → R², T(x) = (0,x) é uma transformação linear.

IV) A transformação T: R² → R², T(x,y) = (x²,y) é uma transformação linear.

Solução

Para determinarmos se as funções são transformações lineares ou não, devemos analisar duas condições:

• T(u + v) = T(u) + T(v), com u e v no domínio de T.
• T(c.v) = c.T(v), para todo v e para todo escalar c.

Vamos analisar cada função.

I) Sendo a e b, temos que:

T(a) + T(b) = 1 + 1 = 2.

T(a + b) = 1.

Os valores são diferentes.

Logo, T não é uma transformação linear.

II) Dados os vetores (a,b) e (c,d), temos que:

T(a,b) + T(c,d) = a + b + c + d.

T((a,b) + (c,d)) = T(a + c, b + d) = a + c + b + d.

c.T(a,b) = c.(a + b) = ac + bc.

T(c(a,b)) = T(ac,bc) = ac + bc.

Logo, a função é uma transformação linear.

III) Sendo a e b, temos que:

T(a) + T(b) = (0,a) + (0,b) = (0, a + b).

T(a + b) = (0, a + b).

c.T(a) = c.(0,a) = (0,ac).

T(c.a) = (0,ac).

Logo, a função é uma transformação linear.

IV) Sendo (a,b) e (c,d), temos que:

T(a,b) + T(c,d) = (a²,b) + (c²,d) = (a² + c², b + d).

T((a,b) + (c,d)) = T(a + c, b + d) = ((a + c)²,b + d).

Veja que os valores encontrados são diferentes.

Logo, a função não é uma transformação linear.

Answer 2

Resposta:

I e II Apenas

Explicação passo a passo: