Question

Uma esfera oca, com 0,15 m de raio e momento de inércia I = 0,040 kg·m2 em relação a uma reta que passa pelo centro de massa, rola sem deslizar, subindo uma superfície com uma inclinação de 30° em relação à horizontal. Em uma posição inicial a energia cinética total da esfera é 20 J. a) Quanto desse energia cinética inicial se deve à rotação? b) Qual a velocidade do centro de massa da esfera na posição inicial? Após a esfera te se deslocado 1,0 m ao longo da superfície inclinada, a partir da posição inicial, quais são c) a energia cinética total e d) a velocidade do centro de massa?​

Answer 1

Temos que, a energia cinética total de um corpo é a soma da energia cinética de translação com a energia cinética que rotação, que nos resulta em

$E_k = \dfrac{mv_{CM}^2}{2}+\dfrac{I\omega^2}{2}$

No sistema de rotação em que a esfera rola sem deslizar vale a igualdade

$\omega = \dfrac{v_{CM}^2}{r}$

E assim,

$E_k = \dfrac{mv_{CM}^2}{2}+\dfrac{Iv_{CM}^2}{2r^2}$

E podemos encontrar a massa a partir do momento de inércia, já que, para a esfera oca,

$I = \dfrac{2}{3}mr^2 \iff m = \dfrac{3I}{2r^2}$

Portanto,

$E_k = \dfrac{3Iv_{CM}^2}{4r^2}+\dfrac{Iv_{CM}^2}{2r^2} = \dfrac{5Iv_{CM}^2}{4r^2}$

Vemos que, a energia cinética de rotação contribui com uma parte da energia total, a porcentagem será a divisão dela pelo total, que nos obterá:

$\dfrac{Iv_{CM}^2}{2r^2} \times \dfrac{4r^2}{5Iv_{CM}^2} = \dfrac{4}{10}$

a) A energia devido à rotação participa de 40% da energia cinética total.

Como, pelo enunciado, $E_k = 20\: J$

$20 = \dfrac{5*0.04*v_{CM}^2}{4*0.15^2}$

$20 = \dfrac{0.2*v_{CM}^2}{4*0.0225}$

$v_{CM}^2 = \dfrac{20*0.09}{0.2} = 9$

$v_{CM} = 3\: m/s$

b) A velocidade da esfera na posição inicial é de 3 m/s.

Quando a esfera começa a subir pela rampa, ela começa a ganhar energia potencial gravitacional e perder energia cinética, ao percorrer 1 m pela rampa haverá um aumento em sua altura de

$h = D*\sin(30\°) = 1*0.5 = 0.5 m$

E portanto, sua energia potencial:

$E_{pg} = m*g*h = \dfrac{3Igh}{2r^2} = \dfrac{3*0.04*10*0.5}{2*0.15^2}$

$E_{pg} = \dfrac{40}{3} \: J$

Ou seja, sobra para a energia cinética um total de:

$E_k' = 20 - \dfrac{40}{3} = \dfrac{20}{3}\: J$

c) A energia cinética total após a esfera percorrer 1 m pela rampa será aproximadamente 6.67 J

Dada a energia, podemos voltar à nossa fórmula e descobrir novamente a velocidade:

$E_k = \dfrac{5Iv_{CM}^2}{4r^2}$

$\dfrac{20}{3] = \dfrac{5*0.04*v_{CM}^2}{4*0.15^2}$

$v_{CM}^2 = \dfrac{20*0.09}{3*0.2} = 3$

$v_{CM} = \sqrt{3} \: m/s$

d) A velocidade do centro de massa, após a esfera percorrer 1 m da rampa, será de aproximadamente 1.7 m/s